\chapter{任意角的三角函数}

\section{弧和角的概念及其度量}

\subsection{任意大小的角}
在平面几何里，每一个角可以看作是由一条射线绕着它
的端点旋转而形成的．射线的端点叫做角的顶点，射线旋转的
开始位置叫做角的始边，终止位置叫做角的终边．如图6.1所
示的角$\alpha$是射线$OA$绕着端点$O$,按着箭头所示的方向旋转
到$OB$所形成．$O$点是角$\alpha$的顶点，射线$OA$和$OB$分别是
角$\alpha$的始边和终边．
\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
    \draw (0,0)node[left]{$O$}--(3,0)node[right]{$A$};
    \draw (0,0)--(50:3) node [right]{$B$};
\draw[->, thick] (1,0) arc (0:50:1);
\node at (25:1.25){$\alpha$};
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

\begin{figure}[htp]
    \centering
    
        \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.8]
            \begin{scope}
            \draw (0,0)node[left]{$O$}--(3,0)node[right]{$A$};
            \draw (0,0)--(-30:3) node [right]{$B$};
        \draw[->, thick] (1,0) arc (0:360-30:1);
        \node at (1.5,-2){(a)};
    \end{scope}
    \begin{scope}[xshift=5cm]
            \draw (0,0)node[left]{$O$}--(3,0)node[above]{$A$};
          \node at   (3,0)[below]{$B$};
        \draw[thick] (.3,0) arc (0:180:.3);
        \draw[thick] (-.3,0) arc (180:360:.5);
        \draw[thick] (.7,0) arc (0:180:.7);
        \draw[thick,->] (-.7,0) arc (180:360:.9);

        \node at (1.5,-2){(b)};
    \end{scope}
    \begin{scope}[xshift=10cm]
        \draw (0,0)node[left]{$O$}--(3,0)node[right]{$A$};
        \draw (0,0)--(50:3) node [right]{$B$};
        \draw[thick] (50:.3) arc (50:180:.3);
        \draw[thick] (-.3,0) arc (180:360:.5);
        \draw[thick] (.7,0) arc (0:180:.7);
        \draw[thick,->] (-.7,0) arc (180:360+60:.9);
    \node at (1.5,-2){(c)};
\end{scope}
        \end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

射线旋转所形成的角可以是任意大小的角，这也就是
说，一条射线旋转所成的角可以是锐角，钝角，平角，也可
以大于一个平角(图6.2a),也可以绕端点若干周后和开始
的位置重合(图6.2b),也可以旋转若干周又一周的部分
(图6.2c)．

我们还看到射线有两种相反的旋转方向：逆时针方向和
顺时针方向．为了加以区别，我们把按逆时针方向旋转所形
成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角．
例如图6.3中以$OA$为始边的角$\alpha=210^{\circ}$, $\beta=-150^{\circ}$, $\gamma=-660^{\circ}$.
\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=.8]
\draw (0,0)node[below]{$O$}--(4,0)node[right]{$A$};
\draw (0,0)--(-150:4)node[left]{$B_1$};    
\draw (0,0)--(60:4)node[right]{$B_2$};    
\draw[->, very thick] (.5,0) arc (0:-150:.5);
\node at (-75:.8){$\beta=-150^{\circ}$};

\draw[->, very thick] (.85,0) arc (0:210:.85);
\node at (105:1.2){$\alpha=210^{\circ}$};

\draw[thick] (2,0) arc (0:-150:2) ;
\draw[thick] (-150:2) arc (-150:-150-150:2.1) ;
\draw[thick] (60:2.2) arc (60:-150:2.2);
\draw[->, thick] (-150:2.2) arc (-150:-150-149:2.3);
\node at (0,2.6){$\gamma=-660^{\circ}$};


\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

如果射线$OA$没有
作任何旋转，仍留在开
始的位置，那么我们也
把它看成一个角，叫做\textbf{零角}．

这样，我们把角的概念推广到了任意的
角，包括正角、负角和零角．

我们这样引进来的广义角的概念，是由下列三个因素组
成：“始边”、“旋转方向”、“旋转量”．旋转量的大小
通常是以度数或弧度数来表示．

和角的概念对应的是弧的概念．

我们已经讨论了任意大小的角，现在再来讨论任意大小
的弧．

圆弧可以看做是射线上的一点（不与端点重合），随着
射线旋转所形成的轨迹．

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}
\draw (4,0)node[right]{$A$}--(0,0)node[left]{$O$}--(40:4)node[above]{$B$};
\draw (1.5,0)node[below]{$M$} arc (0:40:1.5) node[above]{$M'$};
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}




如图6.4所示，弧$\wideparen{MM'}$是射线$OA$上的$M$点，随着射
线$OA$旋转，由起始位置到$OB$时所形成的轨迹．显然，对
于任意角$\alpha$的终边的每个位置，都有$M$点划出的弧$\wideparen{MM'}$
和它对应．和规定角的正负一样，我们规定：当射线上的一
点按逆时针方向旋转时，该点所划出的弧为正的；按顺时针
方向旋转时，该点所划出的弧为负的，这样规定就使正、负
角和正、负弧对应起来．

再来规定角和它所对应弧的量数．在平面几何里，我们曾规定把圆
周分成360等分，每一份叫做一度的弧，一度弧所对的圆心角叫做一度的
角．因此，一个圆弧含有多少度、分、
秒，它所对圆心角也含有多少度、
分、秒，即弧与其所对应的圆心角有完全相同的量数．例如
圆心角是$500^{\circ}$的角时，它所对的弧就是$500^{\circ}$的弧；圆心角是$-300^{\circ}$时，它所对的弧也是$-300^{\circ}$.

\subsection{角的度量}
角的度量是取一个确定的角作为度量单位，利用它来量
所有的角．用周角的$\frac{1}{360}$
作为度量单位的叫做“度”．在高
等数学和其它基础科学理论系统中也常用弧度作为度量圆弧
和角的单位．

在弧度制中，取等于半径长的圆弧作为单位弧长．这样
的弧叫做一弧度弧．用一弧度弧度量同一个圆上的圆弧所得
到的量数叫做这个圆弧的弧度数，这也就是说给定圆弧的弧
度数等于圆弧的弧长和半径的比值：
\begin{equation}
    \alpha=\frac{\ell}{R}
\end{equation}
这里$\alpha$是圆弧的弧度数，$\ell$是弧长，$R$是圆的半径．

我们指出圆心角所张的圆弧的弧度数由这个角的大小决
定，而和圆的半径长短无关．

事实上，从几何里知道，在
圆心角相同时，两个圆上的弧长
的比等于它们的半径长的比(图6.5), 即
\[\frac{\wideparen{A_1B_1}}{\wideparen{A_2B_2}}=\frac{R_1}{R_2}\]
或\[\frac{\wideparen{A_1B_1}}{R_1}=\frac{\wideparen{A_2B_2}}{R_2}\]
这就是说，两个圆弧$\wideparen{A_1B_1}$, $\wideparen{A_2B_2}$的弧度数是相同的．

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[scale=.8]
\draw (0,0) circle (2);
\draw (0,0) circle (3);
\draw (0,0)--(40:3);
\draw (0,0)--(140:3);

\node at (40:2)[right]{$A_2$};
\node at (40:3)[right]{$A_1$};
\node at (140:2)[left]{$B_2$};
\node at (140:3)[left]{$B_1$};
\node at (0,0)[below]{$O$};

\draw[decorate,decoration={brace,raise=1pt}] (0,0)--node[above=3pt]{$R_1$}(40:3);
\draw[decorate,decoration={brace,raise=1pt}] (140:2)--node[above=3pt]{$R_2$}(0,0);
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

因此，一个圆心角所对的弧的弧度数可以表示这个角的
大小，我们也把圆心角所对的圆弧的弧度数称为这个角的弧
度数．

\begin{blk}{定义}
    以一个角为圆心角，这个角所对的弧的长和这个
弧的半径长之比，叫做这个角的弧度数．
\end{blk}

当弧长等于半径时，这个比值等于1, 因此，在弧度制
里，度量一个角时，我们规定：

长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角．换言
之，一弧度圆弧所对的圆心角叫做1弧度角．

这样，由(6.1)推得
\begin{equation}
    \ell=aR
\end{equation}
即圆弧长等于这圆弧的弧度数（或这弧所对圆心角的弧度数）
和半径长的乘积．特别地，单位圆上的弧长等于它的弧度数．

利用(6.1)还可以接计算一些特殊角的弧度数．

当弧长等于圆周长$C=2\pi R$时，这个比值等于$2\pi$, 因
此，
\[\begin{split}
    \text{周角}&=  \frac{2\pi R}{R}=2\pi \text{弧度}\\
    \text{平角}&=\frac{1}{2} \text{周角}=\pi \text{弧度}\\
    \text{直角}&=\frac{1}{4}\text{周角}=\frac{\pi}{2}\text{弧度}\\
    45^{\circ}&=\frac{1}{2}\text{直角}=\frac{\pi}{4}\text{弧度}\\
    30^{\circ}&=\frac{1}{3}\text{直角}=\frac{\pi}{6}\text{弧度}\\
    60^{\circ}&=\frac{1}{3}\text{平角}=\frac{\pi}{8}\text{弧度}\\
\end{split}\]

\begin{rmk}
角的量数是以弧度数表示的，通常只写出数值不
写出单位，以后我们都将单位“弧度”二字省略不写．例如
平角$=\pi$弧度就写成平角$=\pi$．但是千万不要误解平角就是
圆周率$3.1415926\cdots$．
\end{rmk}

度与弧度的互化．

因为平角$=180^{\circ}=\pi$, 所以$1^{\circ}=\frac{\pi}{180}
\approx 0.017453$．$A^{\circ}$的角相应的弧度数：
\[\begin{split}
    \alpha&=\frac{A\pi}{180}\\
    1'&=\left(\frac{1}{60}\right)^{\circ}=\frac{1}{60}\left(\frac{\pi}{180}\right)\approx 0.00029088\\
    1\text{(弧度)}&=\frac{180^{\circ}}{\pi}=57.295^{\circ}\approx 3438'\approx 206265''
    = 57^{\circ}17'45''
\end{split}\]
$\alpha$弧度的角相应的度数：
\[A^{\circ}=\frac{a\cdot 180^{\circ}}{\pi}\]

下表给出一些常见角的弧度和它们的近似值：
\begin{center}
\begin{tabular}{cccccccc}
\hline
度 & $30^{\circ}$ & $45^{\circ}$ & $60^{\circ}$ & $90^{\circ}$ & $180^{\circ}$ & $270^{\circ}$ & $360^{\circ}$\\
\hline
弧度 & $\frac{\pi}{6}$   & $\frac{\pi}{4}$   & $\frac{\pi}{3}$   & $\frac{\pi}{2}$   & $\pi$   & $\frac{3}{2}\pi$  & $2\pi$\\
近似值 & 0.5236   & 0.7854   & 1.0472   & 1.5708   & 3.1416   & 4.7124   & 6.2832\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{example}
    化$67^{\circ}30'$为弧度．
\end{example}

\begin{solution}
\[67^{\circ}30'=67.5^{\circ}=\frac{\pi}{180}\x 67.5=\frac{3}{8}\pi \; \text{(弧度)}\]
\end{solution}

\begin{example}
    化$\frac{3}{5}\pi$弧度为度．
\end{example}

\begin{solution}
  \[\frac{3}{5}\pi= \frac{180^{\circ}}{\pi}\x\frac{3}{5}\pi=108^{\circ}  \]  
\end{solution}

\begin{example}
    两皮带轮的半径$R_1=20$, $R_2=30$, 求它们的转速
    之比(图6.6)．
\begin{figure}[htp]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw (0,0) circle (1);
\draw (4,0) circle (1.5);
\node at  (0,0) [below]{$O_1$};
\node at  (4,0) [below]{$O_2$};
\draw (140:1)node[left]{$S_1$}--(0,0)--(97.2:1)--+(7.2:3.97)--(4,0)--+(130:1.5)node[left]{$S_2$};
\draw (-97.2:1)--+(-7.2:3.97);
\draw[->] (97.2:.5) arc (97.2:140:.5);
\draw[->] (4,0)--+(97.2:.8) arc (97.2:130:.8);
\node at (-.25,.5)[above]{$\alpha_1$};
\node at (4-.3,.8)[above]{$\alpha_2$};

\draw[<-]  (1,1.35)--(2,1.5);
\draw [->] (1,-1.35)--(2,-1.5);

    \end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}
\end{example}

\begin{solution}
    因为在相同的时间内，两轮周上转过的弧长相等，
    即$S_1=S_2$, 在弧度制下：
\[S_1=\alpha_1 R_1,\qquad S_2=\alpha_2 R_2\]
$\therefore\quad \alpha_1R_1=\alpha_2R_2 \quad \Rightarrow\quad \frac{\alpha_1}{\alpha_2}=\frac{R_2}{R_1}=\frac{30}{20}$

$\therefore\quad \alpha_1:\alpha_2=3:2 $
\end{solution}

\begin{example}
    地球的半径为6400公里，在同一经线上，甲、乙两
地的距离为150公里，试求甲、乙两地纬度差．
\end{example}


\begin{solution}
设$\theta$为甲、乙两地纬度差，则
\[\begin{split}
    \theta &= \frac{150}{6400}\approx 0.0234\\
    &=0.0234\x\frac{180^{\circ}}{\pi}\\
    &\approx 0.0234\x 3438'\\
    &\approx 13^{\circ}14'
\end{split}\]

答: 两地纬度差为$13^{\circ}14'$．
\end{solution}

\begin{ex}
\begin{enumerate}
    \item 把下列各角的度数化为弧度数：
\begin{multicols}{3}
    \begin{enumerate}
    \item $2^{\circ}$
    \item $5^{\circ}$
    \item $7^{\circ}30'$
    \item $12^{\circ}30'$
    \item $22.5^{\circ}$
    \item $200^{\circ}$
    \item $320^{\circ}$
    \item $14^{\circ}24'$
    \item $86^{\circ}45'$
    \item  $157^{\circ}30'$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item 把下列各角的弧度数化为度数：
 \begin{multicols}{3}
    \begin{enumerate}
        \item $0.4800$
        \item $0.0099$ 
        \item $2.6400$
        \item $\frac{3}{5}\pi$
        \item $\frac{4}{5}\pi$
        \item $\frac{\pi}{15}$
        \item $\frac{\pi}{10}$
        \item $3\pi$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item 已知$200^{\circ}$的圆心角所对的弧长等于50cm, 求圆的
半径．
\item 轮子每秒旋转$\frac{5}{18}$
弧度，20秒钟内转了多大角度？
\item 一个大钟的长针长2尺8寸．20秒间针端走了几寸？
\item 扇形弧长为20cm, 半径为15cm, 求扇形面积．
\item 地球半径为6400公里，地面上一弧所对球心角为$1'$,
问弧长若干公里？
\end{enumerate}
\end{ex}

\subsection{始边和终边相同的角}
今后我们常在直角坐标系里讨论角，并把角放在下面的
标准位置：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与$x$轴的
正半轴重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象
限角（或说这个角属于第几象限）．如图6.7(1)中，
$\frac{\pi}{6}$, $\frac{13\pi}{6}$
和$-\frac{11\pi}{6}$
都是第一象限的角．在图6.7(2)中，
$-\frac{\pi}{3}$, $\frac{5\pi}{3}$
都是第四象限的角．

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\begin{scope}
    \draw[->](-2,0)--(2,0)node[right]{$x$};
    \draw[->](0,-2)--(0,2)node[right]{$y$};
\draw (0,0)--(30:2.5)node[right]{$B$};
\draw[->] (.75,0) arc (0:30:.75);
\draw[->] (1,0) arc (0:-330:1);
\node at (.2,-.2){$O$};
\node at (15:1){$\tfrac{\pi}{6}$};
\node at (2,.5){$\tfrac{13\pi}{6}$};
\node at (.5,1.2){$-\tfrac{11\pi}{6}$};
\draw(1.5,0) arc (0:270:1.5);
\draw [->] (0,-1.5) arc (270:384:1.7);
\node at (0,-2.5){(1)};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=6cm]
    \draw[->](-2,0)--(2,0)node[right]{$x$};
    \draw[->](0,-2)--(0,2)node[right]{$y$};
    \draw (0,0)--(-60:2.5)node[right]{$B$};
    \draw[->] (.75,0) arc (0:-60:.75);
    \draw[->] (1,0) arc (0:300:1);
    \node at (.2,.2){$O$};
    \node at (-30:1){$-\tfrac{\pi}{3}$};
    
\node at (1,1){$\tfrac{5\pi}{3}$};
\node at (0,-2.5){(2)};

\end{scope}
\end{tikzpicture}   
    \caption{}
\end{figure}


在图6.7(1)中可以看到$\frac{13\pi}{6}$与$-\frac{11\pi}{6}$都和$\frac{\pi}{6}$的角终边相同．
$\frac{13\pi}{6}$和$-\frac{11\pi}{6}$
可以写成下列形式：
\[2\pi+\frac{\pi}{6},\qquad -2\pi+\frac{\pi}{6}\]
显然，除了这两个角以外，与
的角终边相同的角还有：
\[\begin{split}
    2\x 2\pi+\frac{\pi}{6},&\qquad -2\x 2\pi+\frac{\pi}{6}\\
    3\x 2\pi+\frac{\pi}{6},&\qquad -3\x 2\pi+\frac{\pi}{6}\\
\cdots\cdots\qquad &\qquad\qquad \cdots\cdots
\end{split}\]
所有和$\frac{\pi}{6}$
的角终边相同的角，连同$\frac{\pi}{6}$
在内，可以用下式表示：
\[2k\pi+\frac{\pi}{6},\quad (k\in\mathbb{Z})\]
当$k=1$时，它表示$\frac{\pi}{6}$的角；$k=1$时，它表示$\frac{13\pi}{6}$的角；$k=-1$时，它表示$-\frac{11\pi}{6}$的角．

一般地，所有和$\alpha$角终边相同的角，连同$\alpha$在内，可
以用式子$2k\pi+\alpha\; (k\in\mathbb{Z})$来表示．

由此可见，具有相同始边和终边的角不止一个，而是无
穷多个，它们之间彼此相差整数周（正的或负的）即$2\pi$的整数
倍．实际上，相同始边和终边的角是由无穷多个角组成的集
合．与$\alpha$终边相同的角（$\alpha$角处在标准位置）的集合可记作：
\[\{\beta|\beta=2k\pi+\alpha,\; k\in\mathbb{Z}\}\quad  \text{(若$\alpha$以弧度制给出）}\]
或
\[\{\beta|\beta=k\cdot 360^{\circ}+\alpha,\; k\in\mathbb{Z}\}\quad  \text{(若$\alpha$以度数制给出）}\]


\begin{example}
    在$0^{\circ}$到$360^{\circ}$的范围内，找出与下列各角终边相同
的角，并判定下列各角是哪个象限的角．
\[-120^{\circ},\qquad 640^{\circ},\qquad -950^{\circ}12'\]

\end{example}


\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item $\because\quad -120^{\circ}=-360^{\circ}+240^{\circ}$
    
$\therefore\quad -120^{\circ}$的角与$240^{\circ}$的角的终边相同，它是第
三象限的角．
\item $\because\quad 640^{\circ}=360^{\circ}+280^{\circ}$

$\therefore\quad 640^{\circ}$的角与$280^{\circ}$的角的终边相同，它是第四象限
的角．

\item $\because\quad -950^{\circ}12'=-3x360^{\circ}+129^{\circ}48'$

$\therefore\quad -950^{\circ}12'$的角与$129^{\circ}48'$的角的终边相同，它是
第二象限的角．
\end{enumerate}
\end{solution}

\begin{example}
写出与下列各角终边相同的角的集合$S$, 并把$S$
中$-2\pi$到$4\pi$间的角写出来：
\[\frac{\pi}{3},\qquad -\frac{\pi}{4},\qquad \frac{15\pi}{7}\]
\end{example}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item 
$S=\left\{\beta \Big|\beta =2k\pi+\frac{\pi}{3},\; k\in\mathbb{Z}\right\}$

$S$中在$-2\pi$到$4\pi$间的角：
\begin{itemize}
    \item 当$k=-1$时，$\beta =-2\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{-5\pi}{8}$
    \item 当$k=0$时，$\beta=\frac{\pi}{3}$ 
    \item 当$k=1$时，$\beta =2\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3}$
\end{itemize}

\item $S=\left\{\beta \Big|\beta =2k\pi-\frac{\pi}{4},\;k\in\mathbb{Z}\right\}$

$S$中在$-2\pi$到$4\pi$间的角：
\begin{itemize}
    \item 当$k=0$时，$\beta =-\frac{\pi}{4}$
    \item 当$k=1$时，$\beta =2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}$
    \item 当$k=2$时，$\beta =4\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{15\pi}{4}$
\end{itemize}

\item $S=\left\{\beta \Big|\beta =2k\pi+\frac{15\pi}{7},\; k\in\mathbb{Z}\right\}$

$S$中在$-2\pi$到$4\pi$间的角：
\begin{itemize}
    \item 当$k=-2$时，$\beta =-4\pi+\frac{15\pi}{7}=-\frac{13\pi}{7}$
    \item 当$k=-1$时，$\beta =-2\pi+\frac{15\pi}{7}=\frac{\pi}{7}$
    \item 当$k=0$时，$\beta=\frac{15\pi}{7}$
\end{itemize}
\end{enumerate}    
\end{solution}

如果处在标准位置的角的终边落在坐标轴上，那么如何
写出终边相同的角呢？下面我们来研究这个问题．

\begin{enumerate}
    \item 终边落在$x$轴的正向上，这些角的量数为
\[2n\pi\quad  (n\in\mathbb{Z})\]
\item 终边落在x轴的负向上，这些角的量数
\[2n\pi +\pi =(2n+1)\pi\quad  (n\in\mathbb{Z})\]
把1、2结合起来，量数为$k\pi\;  (k\in\mathbb{Z})$的角的终边
落在$x$轴上，在$k$为偶数时，终边落在$x$轴的正向上；在$k$
为奇数时，终边落在$x$轴的负向上．
\item 终边落在$y$轴的正向上，这些角的量数为
\[2n\pi +\frac{\pi}{2}\quad (n\in\mathbb{Z})\]
\item 终边落在$y$轴的负向上，这些角的量数为
\[-\frac{\pi}{2}+2nx=(2n-1)\pi +\frac{\pi}{2}\quad (n\in\mathbb{Z})\]
把3、4结合起来，量数为$k\pi +\frac{\pi}{2}\; (k\in\mathbb{Z})$的
角的终边落在$y$轴上，在$k$为偶数时，终边落在$y$轴的正向
上，在$k$为奇数时，终边落在$y$轴的负向上．
\end{enumerate}

量数为$k\cdot \frac{\pi}{2}\; (k\in\mathbb{Z})$的角的终边，或落在$x$轴上，或落在$y$轴上．在$k=0,1,2,3,4,5,\ldots$时，终边依次落
在$z$轴正向、$y$轴正向、$x$轴负向、$y$轴负向、$x$轴正向、$y$
轴正向……在$k=-1,-2,-3,-4,-5,\ldots$
时，终边依次落在$y$轴负向、$x$轴负向、$y$轴正向、$x$轴正
向、$y$轴负向……

此外，若$\alpha$的终边落在右半平面（一、四象限），则满足
\[-\frac{\pi}{2}+2k\pi<\alpha<\frac{\pi}{2}+2k\pi\quad (k\in\mathbb{Z})\]
若$\alpha$的终边落在上半平面（一、二象限），则满足
\[2k\pi <\alpha<(2k+1)\pi \]

以上这些表示法希望大家熟悉，因为以后经常要用到．

\begin{ex}
\begin{enumerate}
    \item 在度数制下，写出下面处在标准位置的终边相同的
    角．
        \begin{enumerate}    \begin{multicols}{2}
    \item $30^{\circ}$
    \item 终边落在$x$轴正向上；
    \item 终边落在$x$轴负向上；
    \item 终边落在$x$轴上；
    \item 终边落在$y$轴正向上；
    \item 终边落在$y$轴负向上；
    \item 终边落在$y$轴上；    \end{multicols}
    \item 角$\alpha$的终边落在左半平面上；
    \item 角$\alpha$的终边落在下半平面上．     
    \end{enumerate}

    
    \item 把下列角放在标准位置上，用量角器作出下列各角，
    并指出它们是哪个象限的角．
    \[-55^{\circ},\qquad -265^{\circ},\qquad 400^{\circ} ,\qquad 1000^{\circ},\qquad -512^{\circ} \]

    \item 当时钟上指出3点，6点和8点的时候，写出分针
    与时针所成角的一般形式．
    \item 试求出下列处在标准位置的各角的最小正同边角及
    最大负同边角，并说明各角为何象限角：
    \[1140^{\circ},\qquad 1680^{\circ},\qquad -1290^{\circ},\qquad -1510^{\circ}\]
\item 写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中
在$-4\pi$ 到$2\pi$ 间的角写出来：
\[\frac{\pi}{4},\qquad -\frac{\pi}{6},\qquad \frac{36\pi}{5},\qquad -\frac{8\pi}{7}\]
\end{enumerate} 
\end{ex}

\subsection{单位圆}
\begin{blk}{定义}
    以坐标原点为圆心，半径长为1的圆叫做单位圆．
它上面任一弧的长度恰好等于弧度数．
\end{blk}
 
如图6.8, 单位圆交坐标轴于四个点$A(1,0)$、$B(0,1)$、
$A_1(-1,0)$、$B_1(0,-1)$．过$A$作单位圆的切线$\ell$, 在$\ell$上这
样来建立坐标系：取$A$为原点，取向上的方向为正向，单
位等于半径长，这样$\ell$就是一条实数轴．我们已经知道实数
轴上的点和全体实数是一一对应的．

\begin{figure}[htp]
    \centering
\includegraphics[scale=.6]{fig/6-8.PNG}
    \caption{}
\end{figure}



现在把数轴$\ell$设想为一
条无限长而没有伸缩性的丝
线，把数轴$\ell$正的那一半按
反时针方向来包卷单位圆，
而用这条数轴负的那一半按
顺时针方向包卷于单位圆上．设$S_1$是数轴$\ell$正的那一半上的一点（图6.8），当
$\ell$包卷到圆上后，此点就落到
单位圆上的$P_1$点，此时$S_1$
点的坐标是单位圆上弧$\wideparen{AP_1}$
的长或$\wideparen{AP_1}$的弧度数，也是
$\wideparen{AP_1}$所对圆心角$\theta$的弧度数．如
果数轴$\ell$上的一点坐标是负的，那么它就是$\ell$的负半轴按顺
时针方向包卷在单位圆上的负弧或它所对负圆心角的弧度
数，通过数轴在单位圆上的包卷，我们建立了数轴上一切点的
坐标和处在标准位置的圆心角$\theta$的弧度数之间的一一对应，
并且由于它们的基本单位相等，于是$\theta$角的弧度数就可以从
包卷在单位圆上的数轴$\ell$上的点的坐标直接读出来．

我们必须注意，在数轴$\ell$上，坐标相差$2\pi$ 的或相差$2\pi$ 
整数倍的那些点，当把$\ell$包卷在单位圆上时，都位于同一
点，例如$P_1$点是弧长$S_1$达到的一点，那么弧长等于$S_1\pm 2\pi,
S_1\pm 4\pi ,\ldots$的弧，当$\ell$包卷在单位圆上时也达到同一个
点$P_1$, 这就说明了数轴上的点和单位圆上的点是多一对应．
于是数轴$\ell$上的任意两个实数$S_1,S_2$和单位圆上同一个点
对应的充要条件是：
\[S_1-S_2=2n\pi \qquad  (n\in\mathbb{Z})\]
我们把上述两种对应复合在一起得到：
\begin{align*}
    \text{实数}\mathbb{R}& \longleftrightarrow  \{\theta|\text{标准位置有向角的弧度数}\}  \tag{一一对应}\\
& \longrightarrow \{(x,y)|x^2+y^2=1\} \tag{多一对应}
\end{align*}

这里$(x,y)$是单位圆上点的坐标．
我们在下面将应用这种对应关系来研究三角函数的许多
性质．并且把角的三角函数与实变数的三角函数统一起来．


\begin{example}
    在单位圆上作出对应于下列各数的点：
\[0,\quad \frac{\pi}{6},\quad \frac{\pi}{3},\quad \frac{\pi}{2},\quad \frac{2\pi}{3},\quad \frac{5\pi}{6},\quad \pi,\quad \frac{7\pi}{6},\quad \frac{4\pi}{3},\quad \frac{3\pi}{2},\quad \frac{5\pi}{3},\quad \frac{11\pi}{6},\quad 2\pi\]
\end{example}

\begin{solution}
    这些数中每相邻两数的差是$\frac{\pi}{6}$，
即在单位圆上以
相邻两数为端点的弧都相等，因此我们将单位圆12等分后，就
得到对应于上列各数的点（图6.9）．
\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
    \draw[->] (-3,0)--(3,0)node[right]{$x$};
    \draw[->] (0,-3)--(0,3)node[right]{$y$};
\draw[thick] (0,0) circle(2);

    \draw (1*30:2) [fill=black] circle (1.5pt) node[above=5pt]{$P_1$};
    \draw (2*30:2) [fill=black] circle (1.5pt) node[above=5pt]{$P_2$};
    \draw (3*30:2) [fill=black] circle (1.5pt);
    \draw (4*30:2) [fill=black] circle (1.5pt) node[above=5pt]{$P_3$};
    \draw (5*30:2) [fill=black] circle (1.5pt) node[above=5pt]{$P_4$};
    \draw (6*30:2) [fill=black] circle (1.5pt);
    \draw (7*30:2) [fill=black] circle (1.5pt) node[below=5pt]{$P_5$};
    \draw (8*30:2) [fill=black] circle (1.5pt) node[below=5pt]{$P_6$};
    \draw (9*30:2) [fill=black] circle (1.5pt);
    \draw (10*30:2) [fill=black] circle (1.5pt) node[below=5pt]{$P_7$};
    \draw (11*30:2) [fill=black] circle (1.5pt) node[below=5pt]{$P_8$};
   
\node at (2.2,0)[above]{$A$};   
\node at (-2.2,0)[above]{$A_1$};
\node at (0,2.2)[left]{$B$};   
\node at (0,-2.2)[left]{$B_1$};
\node at (0.25,-.25){$O$};  

\node at (6,3){$\frac{\pi}{6}\to P_1,\qquad \frac{\pi}{3}\to P_2$};
\node at (6,2){$ \frac{\pi}{2}\to B,\qquad \frac{2\pi}{3}\to P_3$};
\node at (6,1){$\frac{5\pi}{6}\to P_4,\qquad \pi\to A_1$};
\node at (6,0){$\frac{7\pi}{6}\to P_5,\qquad \frac{4\pi}{3}\to P_6$};
\node at (6,-1){$\frac{3\pi}{2}\to B_1,\qquad \frac{5\pi}{3}\to P_7$};
\node at (6,-2){$\frac{11\pi}{6}\to P_8,\qquad 2\pi\to A$};

\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}
\end{solution}

\begin{example}
在数轴$\ell$上找到和单位圆上$(0,1)$点对应的一切实
数．
\end{example}

\begin{solution}
在单位圆上$B$点的坐标是$(0,1)$, $\wideparen{AB}$的弧长是$\frac{\pi}{2}$，
因此在数轴$\ell$上和$(0,1)$点对应的一切实数是：$\frac{\pi}{2}+2k\pi\; (k\in\mathbb{Z})$．

\end{solution}

\begin{ex}
\begin{enumerate}
   \item 在单位圆上找出与实数0, $\frac{\pi}{2}$, $-\frac{\pi}{2}$，$\pi$对应的点$P_1$、$P_2$、$P_3$、$P_4$. 并写出与$\angle AOP_1$、$\angle AOP_2$、$\angle AOP_3$、
$\angle AOP_4$对应的一切实数的一般形式．


\item \begin{enumerate}
\item 在单位圆上找出分别与下面各实数0、$\frac{\pi}{6}$、$\frac{\pi}{4}$、$\frac{\pi}{3}$、$\frac{\pi}{2}$对应的点$P_0$、$P_1$、$P_2$、$P_3$、$P_4$．
\item 分别写出$P_0$、$P_1$、$P_2$、$P_3$、$P_4$各点的直角坐标．
\item 与下面各实数对应的点，哪些和$P_0$、$P_1$、$P_2$、$P_3$、$P_4$关于坐标轴对称？哪些关于原点对称？并写出它们的直
角坐标．
\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\[\frac{2\pi}{3},\quad \frac{3\pi}{4},\quad \frac{5\pi}{6},\quad \pi,\quad \frac{7\pi}{6},\quad \frac{5\pi}{4},\quad \frac{4\pi}{3},\quad \frac{3\pi}{2},\quad \frac{5\pi}{3},\quad -\frac{\pi}{4},\quad \frac{11\pi}{6}\]
\end{ex}

\section{任意角的三角函数}
在描述和研究有关转动和振动的实际问题的时候，我们
就要研究任意角的三角函数，下面我们来研究任意角的三角
函数．

\subsection{任意角三角函数的定义}
如图6.10, 在角$\alpha$的终边上任意取一点$P$（不是坐标
系的原点）．

以坐标系的原点为起点，$P$为终点的有向线段$\Vec{OP}$叫做
$P$点的向量半径或旋转半径．

设$P$点的坐标是$(x,y)$, 它和原点的距离为$r>0$（即
旋转半径$\Vec{OP}$的长），横坐标$x$与纵坐标$y$的正负是由
$P$点所在的象限来确定的．距离$r$总是正的，并且
\[r=\sqrt{x^2+y^2}\]

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
    \draw[->] (-3,0)--(3,0)node[right]{$x$};
    \draw[->] (0,-3)--(0,3)node[right]{$y$};
\draw[thick] (0,0) circle(2);
\draw (0,0)--(120:3);
\draw (0,0)--(120:2)node[left]{$P(x,y)$}--(-1,0)node[below]{$M(x,y)$};
   
\node at (2.2,0)[above]{$A$};   
\node at (.25,-.25){$O$};
\draw[->] (.5,0) arc (0:120:.5);
\node at (60:.8){$\alpha$};
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

\begin{blk}{定义}
    \begin{enumerate}
\item $\frac{y}{r}$叫做角$\alpha$的正弦，记作$\sin\alpha$, 即
$\sin\alpha=\frac{y}{r}$；
\item $\frac{x}{r}$叫做角$\alpha$的余弦，记作$\cos\alpha$, 即$\cos\alpha=\frac{x}{r}$；
\item $\frac{y}{x}$
叫做角$\alpha$的正切，记作$\tan\alpha$, 即$\tan\alpha=\frac{y}{x}$；
\item $\frac{x}{y}$叫做角$\alpha$的余切，记作$\cot\alpha$, 即$\cot\alpha=\frac{x}{y}$；
\item $\frac{r}{x}$
叫做角$\alpha$的正割，记作$\sec\alpha$, 即$\sec\alpha=\frac{r}{x}$；
\item $\frac{r}{y}$
叫做角$\alpha$的余割，记作$\csc\alpha$, 即$\csc\alpha=\frac{r}{y}$．        
    \end{enumerate}
\end{blk}

对于确定的角$\alpha$，$\frac{y}{r},\; \frac{x}{r},\; \frac{y}{x},\; \frac{x}{y},\; \frac{r}{x},\; \frac{r}{y}$
这六个比值的大小，和我们在$\alpha$角的终边上所取$P$点的位置没有关系，如图6.11中，$P_1(x_1,y_1)$点为角$\alpha$终边上
另一点，$P_1$到原点$O$的距离为$r_1$，$x$和$x_1$、$y$和$y_1$的符号
相同，因为$\triangle POM\sim \triangle P_1OM_1$，所以
\[\begin{split}
   & \frac{y_1}{r_1}=\frac{y}{r},\qquad \frac{x_1}{r_1}=\frac{x}{r},\qquad \frac{y_1}{x_1}=\frac{y}{x}\\
   &\frac{x_1}{y_1}=\frac{x}{y},\qquad  \frac{r_1}{x_1}= \frac{r}{x},\qquad \frac{r_1}{y_1}=\frac{r}{y}
\end{split}\]

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
    \draw[->] (-2.5,0)--(2.5,0)node[right]{$x$};
    \draw[->] (0,-1)--(0,3)node[right]{$y$};
\draw (0,0)--(120:3)node[left]{$P_1(x_1,y_1)$}--(-1.5,0)node [below]{$M_1$};
\draw (0,0)--(120:2)node[right]{$P(x,y)$}--(-1,0)node [below]{$M$};
\node at (.25,-.25){$O$};
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

这就是说，对于确定的角 $\alpha$, $\sin\alpha$、$\cos \alpha$、$\tan \alpha$、$\cot \alpha$、
$\sec\alpha$、$\csc\alpha$
都有确定的值，因为它们的值是随着 $\alpha$变化而
变化的，当 $\alpha$角取确定值的时候，它们的值也相应地唯一确
定，所以，角 $\alpha$的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割都
是角 $\alpha$的函数，这些函数都叫做三角函数．

很明显，当角 $\alpha$是锐角或钝角时，上面三角函数的定义
和锐角、钝角三角函数的定义完全一样，所以锐角、钝角三
角函数定义是任意角三角函数定义的特例．

根据任意角三角函数定义，可以看出
\[\sec\alpha=\frac{1}{\cos\alpha},\qquad \csc \alpha=\frac{1}{\sin\alpha},\qquad \cot \alpha=\frac{1}{\tan\alpha}\]

今后我们主要研究
$\sin \alpha$、 $\cos \alpha$、$\tan \alpha$、$\cot \alpha$ 四个函数．

\begin{example}
    已知单位圆中旋转半径$OP$和$OX$轴正方向成
$300^{\circ}$角，求 $\sin300^{\circ}$, $\cos300^{\circ}$, $\tan 300^{\circ}$, $\cot300^{\circ}$．

\end{example}

\begin{solution}
    设$OP$的端点$P$的坐标是$(x,y)$. 作直线$PM\bot OX$轴于$M$点，$A$点是单位圆与$OX$轴的交点$(1,0)$, 联结
$P,A$(图6.12). 在$\triangle OPA$中，

$\because\quad OP=OA=1,\quad \angle POA=360^{\circ}-300^{\circ}=60^{\circ}$

$\therefore\quad \triangle OPA$是等边三角形，因此，$PM$垂直平分$OA$,
$|x|=|OM|=\frac{1}{2}$
\[\begin{split}
    |y|&=|PM|=\sqrt{|OP|^2-|OM|^2}\\
&=\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{split}\]

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
    \draw[->] (-3,0)--(3,0)node[right]{$x$};
    \draw[->] (0,-3)--(0,3)node[right]{$y$};
\draw[thick] (0,0) circle(2);
\draw (0,0)--(-60:2)--(2,0);
\draw (1,0)node[above]{$M(\tfrac{1}{2},0)$}--(-60:2)node[below]{$P(x,y)$};
   
\node at (2.5,0)[below]{$A(1,0)$};   
\node at (-.25,-.25){$O$};
\draw[->] (.5,0) arc (0:300:.5);
\node at (150:.8){$300^{\circ}$};
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

又$\because\quad P$点在第四象限，$\therefore\quad P$点坐标是
\[x=\frac{1}{2},\qquad y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\]
由此求得
\[\sin300^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad 
\cos300^{\circ}=\frac{1}{2}\]
\[
\tan300^{\circ}=-\sqrt{3},\qquad 
\cot300^{\circ}=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\]
\end{solution}


\begin{example}
    $$\cos 0=1,\qquad \sin 0=0,\qquad \cos\frac{\pi}{2}=0,\qquad \sin\frac{\pi}{2}=1$$
    \[\cos\pi=-1,\qquad \sin\pi=0,\qquad \cos\frac{3\pi}{2}=0,\qquad \sin\frac{3\pi}{2}=-1\]
\end{example}

\subsection{数值变数的三角函数与三角函数的定义域}
在数学中两个变数之间的函数可以表示不同物理量或几
何量之间的函数关系，例如，数学中的二次函数$y=ax^2$,
如果$a=1$, $a$表示正方形的边长的数值，$y$就表示正方形的
面积数值；但是当
$a=\frac{1}{2}g$
时，$x$表示自由落体下降的时
间，则$y$表示下降的距离．同样，有许多物理或技术问题，
常常要用到的三角函数，其中的自变量就不一定是角或弧而
是时间或长度等，所以为了满足科学技术上的需要，就必需
把角的三角函数扩充为变数$x$的三角函数．

假设$x$是在函数定义域内的任意实数，根据前节
讨论知，对应此实数有一个量数是$x$的角或弧（用弧度作
单位），而对应于该角又有它的各三角函数值，由于这种关
系，对于任意实数$x$就有完全确定的三角函数值$y$与之对
应，于是得到了一个数值变数的三角函数．

\begin{blk}{定义}
 变数$x$的三角函数就是具有弧度数$x$的角（或
弧）的三角函数．    
\end{blk}


\begin{example}
    若$x=1.54$, 求$\sin x$的值．
\end{example}

\begin{solution}
    因为$\sin1.54=\sin1.54\text{弧度}$，
又 $1.54\text{弧度}\approx 88^{\circ}14'$，

所以
$\sin1.54\approx \sin88^{\circ}14'\approx 0.9995$
\end{solution}

在任意大小的角、弧及数之间所能建立的对应，使得我
们可以认为三角函数是角的函数，或是弧的函数，或是数的
函数，其中变数由我们处理，可以解释为角或解释为弧，或
解释为数．

现在给每个三角函数确定它的定义域：

设数值$\alpha$, 有单位圆上的点$P$与之对应（如图6.13），
那么$P$点的坐标是
\[x=\cos\alpha,\qquad y=\sin\alpha\]

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[->] (-2,0)--(2,0)node[right]{$x$};
\draw[->] (0,-2)--(0,2)node[right]{$y$};
\draw (0,0) circle (1.5);
\draw (0,0)--(60:1.5)node[right]{$P(\cos\alpha,\sin\alpha)$}--(1.5/2,0)node[below]{$M$};
\node at (-.25,-.25){$O$};\node at (2,0)[below]{$A(1,0)$};
\draw[->] (.5,0) arc (0:60:.5);
\node at (30:.7){$\alpha$};
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}


因此：
\[\tan\alpha=\frac{y}{x}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\qquad \cot\alpha=\frac{x}{y}=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\]
\[ \sec\alpha=\frac{1}{x}=\frac{1}{\cos\alpha},\qquad \csc\alpha=\frac{1}{y}=\frac{1}{\sin\alpha}\]

\begin{enumerate}
    \item 函数 $\cos\alpha$和$\sin\alpha$的定义域是开区间$-\infty<\alpha<+\infty$,
    即$(-\infty,+\infty)$, 这是因为 $\cos\alpha$和$\sin\alpha$是单位圆上对应
    于数$\alpha$的点$P$的横坐标和纵坐标，它们对于任何实数$\alpha$都
    有明确的值．
\item 函数$\tan\alpha$的定义域是除去形如$\frac{\pi}{2}+k\pi\; (k\in\mathbb{Z})$的数的实数集：
    \[\left\{\alpha\Big|\alpha\in\mathbb{R},\; \alpha\ne \frac{\pi}{2}+k\pi, \; k\in\mathbb{Z} \right\} \]
    即正切的定义域是无限个开区间组成的一个集：
\[\cdots, \left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right), \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right), \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right),\left(\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2}\right),\cdots\]
这是因为$\tan\alpha =\frac{y}{x}$
是单位圆上$P$点
的纵坐标对横坐标之比，唯有当$x=0$时它失去意义，单位圆
上与$x=0$对应的点只有$(0,1)$和$(0,-1)$, 与$(0,1)$点对应的
一切实数是$\alpha=\frac{\pi}{2}+2k\pi\; (k\in\mathbb{Z})$, 与$(0,-1)$点对应的一
切实数是$\alpha=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\; (k\in\mathbb{Z})$, 和$(0,1)$点、$(0,-1)$
点这两点对应的一切实数可以合并写成：
\[\alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi\qquad  (k\in\mathbb{Z})\]
\item 函数$\cot\alpha$的定义域是除去形如$k\pi\;  (k\in\mathbb{Z})$的数的实
数集：$\{\alpha|\alpha\in\mathbb{R},\; \alpha\ne k\pi ,k\in\mathbb{Z}\}$, 即余切的定义域是无
限个开区间组成的一个集：
\[\cdots, (-\pi ,0),(0,\pi ),(\pi ,2\pi ),\cdots\]
\item 函数$\sec\alpha$的定义域与正切函数$\tan\alpha$的定义域$\left\{\alpha\Big|\alpha\in\mathbb{R},\;  \alpha\ne \frac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\right\}$相同．
\item 函数$\csc\alpha$的定义域与余切函数$\cot\alpha$的定义域$\{\alpha|\alpha\in\mathbb{R},\; \alpha\ne k\pi ,k\in\mathbb{Z}\}$相同．
\end{enumerate}

\subsection{三角函数的正负}
设单位圆上点$P$与数$\alpha$对应，以后我们把与$\alpha$对应，
处在标准位置，以$\alpha$（弧度）为量数的角$\angle AOP$简称为角$\alpha$．

\begin{enumerate}
    \item 若$P$点在第一象限（或者角$\alpha$终边在第一象限），
则$P$点的横坐标$x>0$, 纵坐标$y>0$, 因此，
$$\cos\alpha>0,\qquad \sin\alpha>0, \qquad\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}>0,\qquad \cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}>0$$
\item 若$P$点在第二象限（或者角$\alpha$终边在第二象限），
则$P$点的横坐标$x<0$, 纵坐标$y>0$, 因此，
$$\cos\alpha<0,\qquad \sin\alpha>0, \qquad\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}<0,\qquad \cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}<0$$
\item 若$P$点在第三象限（或者角$\alpha$终边在第三象限），
则$P$点的横坐标$x<0$, 纵坐标$y<0$, 因此，
$$\cos\alpha<0,\qquad \sin\alpha<0, \qquad\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}>0,\qquad \cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}>0$$
\item 若$P$点在第四象限（或者角$\alpha$终边在第四象限），
则$P$点的横坐标$x>0$, 纵坐标$y<0$, 因此，
$$\cos\alpha>0,\qquad \sin\alpha<0, \qquad\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}<0,\qquad \cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}<0$$
\end{enumerate}

总之，三角函数的符号可以由单位圆上$P$点在哪一象
限，或者由角$\alpha$的终边在哪一象限决定，如图6.14所示．
\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\begin{scope}
\draw[->] (-1.5,0)--(1.5,0)node[right]{$x$};
\draw[->] (0,-1.5)--(0,1.5)node[right]{$y$};
\node at (-.25,-.25){$O$};
\draw (0,0) circle(1);
\foreach \x/\xcorr in {+/{.5,.5}, -/{-.5,.5}, -/{-.5,-.5}, +/{.5,-.5}}
{
    \node at (\xcorr) {$\x$};
}
\node at (0,-2){$\cos\alpha$和$\sec\alpha$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=4cm]
    \draw[->] (-1.5,0)--(1.5,0)node[right]{$x$};
    \draw[->] (0,-1.5)--(0,1.5)node[right]{$y$};
    \node at (-.25,-.25){$O$};
    \draw (0,0) circle(1);
    \foreach \x/\xcorr in {+/{.5,.5}, +/{-.5,.5}, -/{-.5,-.5}, -/{.5,-.5}}
    {
        \node at (\xcorr) {$\x$};
    }
    \node at (0,-2){$\sin\alpha$和$\csc\alpha$};
    \end{scope}
    \begin{scope}[xshift=8cm]
\draw[->] (-1.5,0)--(1.5,0)node[right]{$x$};
\draw[->] (0,-1.5)--(0,1.5)node[right]{$y$};
\node at (-.25,-.25){$O$};
\draw (0,0) circle(1);
\foreach \x/\xcorr in {+/{.5,.5}, -/{-.5,.5}, +/{-.5,-.5}, -/{.5,-.5}}
{
    \node at (\xcorr) {$\x$};
}
\node at (0,-2){$\tan\alpha$和$\cot\alpha$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

\begin{example}
    例1 决定下列三角函数的符号：
\[\cos120^{\circ},\qquad \sin(-465^{\circ}),\qquad \csc\left(-\frac{4\pi}{3}\right)\]
\end{example}


\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item $120^{\circ}$的角是第二象限的角，而第二象限的角的
余弦为负，所以$$\cos120^{\circ}<0$$
\item $-465^{\circ}$的角是第三象限的角，而第三象限的角的正
弦为负，所以$$\sin(-465^{\circ})<0$$
\item $-\frac{4\pi}{3}$的角是第二象限的角，而第二象限的角的余
割为正，所以$$\csc\left(-\frac{4\pi}{3}\right)>0$$
\end{enumerate}    
\end{solution}



\begin{example}
    如果$\alpha$ 是第四象限的角，那么
$\sin\alpha \tan \alpha$和$\frac{cos\alpha }{\cot \alpha}$
各取什么符号？
\end{example}

\begin{solution}
    因为$\alpha$是第四象限的角，根据第四象限角的三角
函数的符号得：
\[\sin\alpha <0,\qquad \cos\alpha>0,\qquad  \tan \alpha<0,\qquad \cot \alpha<0\]
所以
\[\sin\alpha \tan \alpha>0,\qquad  \frac{\cos\alpha}{\cot a}<0\]
\end{solution}


\begin{example}
    若$\alpha$ 是第三象限的角，求证：
$\tan \alpha+\cot \alpha\ge 2$
\end{example}

\begin{solution}
    $\because\quad \alpha$ 是第三象限的角，$\tan \alpha>0$, $\cot \alpha>0$. 根据
两个正数的算术平均值不小于它的几何平均值，因此有：
\[\frac{\tan a+\cot a}{2}\ge \sqrt{\tan \alpha \cot \alpha}\]
即：$\frac{\tan a+\cot a}{2}\ge 1$

$\therefore\quad \tan a+\cot a\ge 2$
\end{solution}

\begin{ex}
\begin{enumerate}
    \item 图示下列各点位置，并求出与原点的距离．写出角
的终边通过这些点的三角函数值：$P_1(-3,4)$, $P_2(4,-5)$,
$P_3(-5,-3)$．
\item 若$P$点的坐标为$(-4,y)$、$OP$长为5, 试求$y$值，
并写出角的终边通过$P$点的三角函数值．
\item $\sec\alpha$ 能否小于$\tan \alpha$? $\csc\alpha$ 能否小于$\cot\alpha$?
\item 就绝对值而言能否$\cos\alpha$  大于 
$\cot\alpha$? $\sin\alpha$ 大
于$\tan a$?
\item $x$为何值，不等式$|\sin x|+|\cos x|<1$成立？
\item 决定下列各角正弦、余弦、正切的符号：
\[885^{\circ},\qquad -395^{\circ},\qquad \frac{19\pi}{6}\]
\item 若$\cos A<0$且$\tan A<0$, 试决定$A$为何象限角？
\item 设$\frac{\sin\alpha}{\tan\alpha}<0$, $\frac{\cot\alpha}{\cos\alpha}<0$, $\sin\alpha \cos\alpha <0$, 角$\alpha$ 的终边应当在哪些象限？
\item 设$\alpha$ 的终边在第三象限内，决定下列各式的符
号：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $\sin\alpha  +\cos\alpha$
    \item $\tan \alpha-\sin\alpha$
    \item $\cos\alpha +\cot \alpha$
    \item $\sec\alpha  +\tan \alpha  +\cot \alpha$
\end{enumerate}    
\end{multicols}

\item $\alpha$ 为何值时，下面式子失去意义：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $\cos\alpha  +\frac{1}{\cos\alpha}$
    \item $\tan \alpha+\sin\alpha$
    \item  $\tan \alpha+\cot\alpha$
    \item $\frac{1}{\cos\alpha} +\tan \alpha$
    \item $\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$
\end{enumerate}    
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ex}

\subsection{一些特殊角的三角函数值}
我们常常要考虑在$[0,2\pi]$ 范围的一些特殊角的三角函
数值，仍利用单位圆来讨论，设向量半径$\Vec{OP}$的端点为$P(x,y)$, 于是
\begin{itemize}
    \item 当$\alpha =0$时，则$P$的坐标是$(1,0)$, 那么，$\cos0=1$, 
$\sin0=0$, $\tan0=0$, $\cot0$不存在，$\sec 0=1$, $\csc0$不存在．
\item 当$\alpha =\frac{\pi}{2}$
时，则$P$的坐标是$(0,1)$, 那么，
$\cos\frac{\pi}{2}=0$, 
$\sin\frac{\pi}{2}=1$, $\tan\frac{\pi}{2}$不存在, $\cot\frac{\pi}{2}=0$，$\sec \frac{\pi}{2}$不存在, $\csc\frac{\pi}{2}=1$．

\item 当$\alpha =\pi$ 时，则$P$的坐标是$(-1,0)$, 那么，$\cos\pi =-1$, $\sin\pi =0$, $\tan\pi =0$, $\cot\pi$不存在，$\sec \pi =-1$, $\csc\pi$ 不存在．
\item 当$\alpha=\frac{3\pi}{2}$时，则P的坐标是$(0,-1)$, 那么，$\cos\frac{3\pi}{2}=0$, 
$\sin\frac{3\pi}{2}=-1$, $\tan\frac{3\pi}{2}$不存在, $\cot\frac{3\pi}{2}=0$，$\sec \frac{3\pi}{2}$不存在, $\csc\frac{3\pi}{2}=-1$．
\end{itemize}

把上面结果列成表．要记着表上结果并不难，只要记着特殊点$P$的相应位置，根据三角函数的定义就很快得到函数值．
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|cccccc}
\hline
$P(x,y)$ & $\alpha$& $\cos\alpha$& $\sin\alpha$& $\tan\alpha$& $\cot\alpha$& $\sec\alpha$& $\csc\alpha$\\
\hline
$P(1,0)$  &0&1&0&0&不存在&1&不存在\\
$P(0,1)$ &$\frac{\pi}{2}$&0&1&不存在&0&不存在&1\\
$P(-1,0)$ &$\pi$&$-1$&0&0&不存在&$-1$&不存在\\
$P(0,-1)$ &$\frac{3\pi}{2}$&0&$-1$&不存在&0&不存在&$-1$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

在$\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$之间的几个特殊角的函数值，以前见过了，
现在再复习一下（见图6.15）：
\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1.5]
\begin{scope}
 \draw[->] (-1.5,0)--(1.5,0)node[right]{$x$};
 \draw[->] (0,-1.5)--(0,1.5) node[right]{$y$};
\draw[->, thick] (0,0)--(30:1)node[right]{$P\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2},\tfrac{1}{2}\right)$};
\draw(30:1)--(1.732/2,0);
\node at (-.2,-.2){$O$};
\draw (0,0) circle(1);
\draw[->] (.5,0) arc (0:30:.5)node[right]{$\tfrac{\pi}{6}$};
\end{scope}

\begin{scope}[xshift=4cm]
    \draw[->] (-1.5,0)--(1.5,0)node[right]{$x$};
    \draw[->] (0,-1.5)--(0,1.5) node[right]{$y$};
   \draw[->, thick] (0,0)--(45:1)node[right]{$P\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$};
   \draw(45:1)--(1.414/2,0);
   \node at (-.2,-.2){$O$};
   \draw (0,0) circle(1);
   \draw[->] (.35,0) arc (0:45:.35)node[right]{$\tfrac{\pi}{4}$};
   \end{scope}


\begin{scope}[xshift=2cm, yshift=-2.5cm]
    \draw[->] (-1.5,0)--(1.5,0)node[right]{$x$};
    \draw[->] (0,-1.5)--(0,1.5) node[right]{$y$};
   \draw[->, thick] (0,0)--(60:1)node[right]{$P\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$};
   \draw(60:1)--(.5,0);
   \node at (-.2,-.2){$O$};
   \draw (0,0) circle(1);
   \draw[->] (.35,0) arc (0:60:.35)node[right]{$\tfrac{\pi}{3}$};
   \end{scope}

\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

\begin{itemize}
   \item  设
$\alpha =\frac{\pi}{6}(=30^{\circ})$, 根据直角三角形性质（$30^{\circ}$角的对边等于斜边的一半），得$P$点坐标
$P\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$，那么
\[\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2},\qquad \tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3},\qquad \cot \frac{\pi}{6}=\sqrt{3}\]
\item 设$\alpha =\frac{\pi}{4}(=45^{\circ})$, 这时得
$P\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，
那么
\[\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \tan\frac{\pi}{4}=1,\qquad \cot \frac{\pi}{4}=1\]
\item 设$\alpha =\frac{\pi}{3}(=60^{\circ})$, 这时得
$P\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，那么
\[\cos\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \tan\frac{\pi}{6}=\sqrt{3},\qquad \cot \frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\]
\end{itemize}

把上述结果列表如下：
\begin{center}
\begin{tabular}{c|ccc}
\hline
$\alpha$  &  $\frac{\pi}{6}(30^{\circ})$   &  $\frac{\pi}{4}(45^{\circ})$   &  $\frac{\pi}{3}(60^{\circ})$   \\
\hline
$\sin\alpha$ & $\frac{1}{2}$& $\frac{\sqrt{2}}{2}$& $\frac{\sqrt{3}}{2}$\\
$\cos\alpha$ &  $\frac{\sqrt{3}}{2}$& $\frac{\sqrt{2}}{2}$& $\frac{1}{2}$\\
$\tan\alpha$ & $\frac{1}{2}$ & 1 &$\sqrt{3}$\\
$\cot\alpha$& $\sqrt{3}$ &1& $\frac{\sqrt{3}}{3}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


\begin{ex}
\begin{enumerate}
    \item  求下列各式的值：
\begin{enumerate}
    \item $5\sin90^{\circ}+2\cos0^{\circ}-3\sin270^{\circ}+10\cos180^{\circ}$
    \item $a^2\cos270^{\circ}+b^2\sin0^{\circ}+2ab\cot270^{\circ}$
    \item $m\sin270^{\circ}-\frac{n\sin90^{\circ}}{\cos180^{\circ}}+k\tan 180^{\circ}$
    \item $a^2\cos0^{\circ}-b^2\sin270^{\circ}+ab\cos180^{\circ} - ab\cos0^{\circ}$
    \item $a^2\sin90^{\circ}+2ab\cos180^{\circ}+\frac{b^2}{\cos^2 0^{\circ}}
    $
\end{enumerate}

    \item 求下列各式的值：
\begin{enumerate}
    \item $p^2\sin90^{\circ}-2pq\cos0^{\circ}-q^2\sec180^{\circ}$
    
    其中：$p=\frac{1}{3}$, $q=\frac{1}{2}$
    \item $\cos\frac{\pi}{3}-\tan\frac{\pi}{4}+\frac{3}{4}\tan^2\frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{6}+\cos^2\frac{\pi}{6}+\sin\frac{3\pi}{2}$
    \item $\cos\frac{\pi}{3}-\sin^2\frac{\pi}{4}\cos\pi-\frac{1}{3}\tan^2\frac{\pi}{3}\sin \frac{3\pi}{2}+\cos0$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ex}

\section{三角函数的诱导公式}
\subsection{三角函数的奇偶性}
关于函数的奇偶性的概念我们在以前已经学习过了，现
在我们来研究三角函数的奇偶性，以便在计算函数值时得到
一些简便的法则．

我们有下面的定理．
\begin{blk}{定理}
    余弦函数是偶函数，正弦函数、正切函数和余
    切函数都是函数，这就是说，对于一切容许的$\alpha$ 值，都有
  \begin{equation}
 \begin{split}
        \sin(-\alpha )=-\sin\alpha,&\qquad \cos(-\alpha )=\cos\alpha\\
          \tan(-\alpha )=-\tan\alpha,&\qquad  \cot(-\alpha )=-\cot\alpha
    \end{split}     
  \end{equation}  
\end{blk}

\begin{proof}
设$\alpha$ 和$-\alpha$ 是处在标准位置（即如图6.16所示）
的，按相反的旋转方向且有相同绝对值的角，于是这两个角
的终边关于$Ox$轴对称．

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[->] (-2,0)--(2,0)node[right]{$x$};
\draw[->] (0,-2)--(0,2)node[right]{$y$};
\draw (0,0) circle (1.5);
\draw[->](0,0)--(120:1.5)node[above]{$P_{\alpha}$};
\draw[->](0,0)--(-120:1.5)node[below]{$P_{-\alpha}$};
\draw[->] (.5,0) arc (0:120:.5);
\draw[->] (.75,0) arc (0:-120:.75);
\node at (60:.5)[above] {$\alpha$};
\node at (-60:.75)[below] {$-\alpha$};
\node at (2,0)[above]{$A(1,0)$};
\node at (-.25,-.25){$O$};
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}


设它们的终边与单位圆交于
$P_{\alpha}$和$P_{-\alpha}$ 两点，此两点也必定
关于$Ox$轴对称．

根据三角函数的定义，
\begin{itemize}
    \item $P_{\alpha}$点的坐标是$(\cos\alpha ,\sin\alpha)$；
    \item $P_{-\alpha}$
点的坐标是$(\cos(-\alpha ),\sin(-\alpha ))$．
\end{itemize}

因此，由它们关于$Ox$轴的
对称性便知道它们的横坐标相等，纵坐标是相反数，也就
是说
\[\cos(-\alpha )=\cos\alpha ,\qquad \sin(-\alpha )= -\sin\alpha\]

由此，
\[\begin{split}
    \tan(-\alpha)&=\frac{\sin(-\alpha)}{\cos(-\alpha)}=\frac{-\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\tan\alpha\\
    \cot(-\alpha)&=\frac{\cos(-\alpha)}{\sin(-\alpha)}=\frac{\cos\alpha}{-\sin\alpha}=-\cot\alpha\\
\end{split}\]
\end{proof}

\begin{example}
求$\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)$，$\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)$，$\tan\left(-\frac{\pi}{6}\right)$，$\cot\left(-\frac{\pi}{6}\right)$的值．    
\end{example}

\begin{solution}
\[\begin{split}
\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)&=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}  \\
\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)&=-\sin\frac{\pi}{6}=-\frac{1}{2} \\
\tan\left(-\frac{\pi}{6}\right)&=-\tan\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}   \\
\cot\left(-\frac{\pi}{6}\right)&=-\cot\frac{\pi}{6}=-\sqrt{3}
\end{split}\]
\end{solution}

\begin{example}
    下面函数哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些都
不是？
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $g(x)=1-\cos x$
    \item $F(x)=x-\sin x$
    \item $h(x)=x^2\cos x$
    \item $y(x)=\frac{x+\sin x}{x-\sin x}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{example}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item $\because\quad g(-x)=1-\cos(-x)=1-\cos x=g(x)$
    
    $\therefore\quad g(x)$是偶函数．
    \item $\because\quad F(-x)=(-x)-\sin(-x)=-x-(-\sin x)=-(x-\sin x)=-F(x)$
    
    $\therefore\quad F(x)$是奇函数．
    \item $\because\quad h(-x)=(-x)^2\cos(-x)=x^2\cos x=h(x)$
    
    $\therefore\quad h(x)$是偶函数．
    \item $\because\quad y(-x)=\frac{(-x)+\sin (-x)}{(-x)-\sin (-x)}=\frac{-(x+\sin x)}{-(x-\sin x)}=\frac{x+\sin x}{x-\sin x}=y(x)$
    
    $\therefore\quad y(x)$是偶函数．
\end{enumerate}
\end{solution}

\begin{ex}
    下面函数哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些都不是？
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $f(x) =|\sin x|$
    \item $H(x)=x^2 +\sin x$
    \item $\phi(x)=\cos x\sin x$
    \item $G(x)=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$
    \item $f(t)=\frac{t^2+\sin t^2}{1+\sin^2 t}$
    \item $y=\tan (x+2)$
    \item $y=-\tan 2x+2$
    \item $y=\tan (3-x)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ex}

\subsection{$2\pi\pm\alpha$与$\alpha$的三角函数间的关系}
根据三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三
角函数的值相等，即
\begin{equation}
\begin{split}
    \sin(\alpha+2k\pi )=\sin\alpha,&\qquad \cos(\alpha+2k\pi )=\cos\alpha \\
\tan(\alpha+2k\pi ) =\tan\alpha,&\qquad \cot(\alpha+2k\pi )=\cot\alpha
\end{split}
\end{equation}
其中$k\in\mathbb{Z}$．

利用上面的公式可以把求任意角的三角函数值的问题，
转化为求0到$2\pi$间角的三角函数值的问题．

\begin{example}
    求下列三角函数值：
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
    \item $\sin(-1480^{\circ}10')$
    \item $\cos\left(\frac{9\pi}{4}\right)$
    \item $\tan\left(-\frac{11\pi}{3}\right)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{example}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item 
$\sin(-1480^{\circ}10')=-\sin(1480^{\circ}10')=-\sin(4\x 360^{\circ}+40^{\circ}10')=-\sin 40^{\circ}10'=-0.6451$
\item $\cos\left(\frac{9\pi}{4}\right)=\cos\left(2\pi+\frac{\pi}{4}\right)=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
\item $\tan\left(-\frac{11\pi}{3}\right)=\tan\left(-4\pi+\frac{\pi}{3}\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$
\end{enumerate}
\end{solution}

在上面公式中，若令$k=1$, 则有
\begin{equation}
    \begin{split}
        \sin(2\pi+\alpha)=\sin\alpha,&\qquad \cos(2\pi+\alpha)=\cos\alpha \\
    \tan(2\pi+\alpha) =\tan\alpha,&\qquad \cot(2\pi+\alpha)=\cot\alpha
    \end{split}
    \end{equation}

现在来看$2\pi-\alpha$的各三角函数值：
\[\begin{split}
    \sin(2\pi-\alpha)&=\sin[2\pi+(-\alpha)]=\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\\
    \cos(2\pi-\alpha)&=\cos[2\pi+(-\alpha)]=\cos(-\alpha)=\cos\alpha\\
    \tan(2\pi-\alpha)&=\tan[2\pi+(-\alpha)]=\tan(-\alpha)=-\tan\alpha\\
    \cot(2\pi-\alpha)&=\cot[2\pi+(-\alpha)]=\cot(-\alpha)=-\cot\alpha\\    
\end{split}\]

于是有
\begin{equation}
    \begin{split}
        \sin(2\pi-\alpha)=-\sin\alpha,&\qquad \cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha \\
    \tan(2\pi-\alpha) =-\tan\alpha,&\qquad \cot(2\pi-\alpha)=-\cot\alpha
    \end{split}
    \end{equation}

\begin{example}
    求下列各三角函数值：
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
    \item $\sin\frac{11\pi}{6}$
    \item $\cos\frac{13\pi}{8}$
    \item $\cot310^{\circ}18'$
    \item $\sin\left(-\frac{17}{3}\pi\right)$
    \item $\tan(-324^{\circ}18')$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{example}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item $\sin\frac{11\pi}{6}=\sin\left(2\pi-\frac{\pi}{6}\right)=-\sin\frac{\pi}{6}=-\frac{1}{2}$
    \item $\cos\frac{13\pi}{8}=\cos\left(2\pi-\frac{3\pi}{8}\right)=\cos\frac{3\pi}{8}=\cos67^{\circ}30'=0.3827$
    \item $\cot310^{\circ}18'=\cot(360^{\circ}-49^{\circ}42')=-\cot49^{\circ}42'=-0.8481$
    \item $\sin\left(-\frac{17}{3}\pi\right)=\sin\left(-6\pi+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
    
或者
\[\sin\left(-\frac{17}{3}\pi\right)=-\sin\frac{17\pi}{3}=-\sin\left(6\pi-\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

    \item $\tan(-324^{\circ}18')=-\tan324^{\circ}18'=-\tan(360^{\circ}-35^{\circ}42')=-(-\tan 35^{\circ}42')=\tan 35^{\circ}42'=0.7186$
\end{enumerate}    
\end{solution}

\subsection{$\frac{\pi}{2}\pm\alpha$与$\alpha$的三角函数间的关系}

$\frac{\pi}{2}\pm\alpha$与$\alpha$的三角函数间有下述关系：
\begin{equation}
    \begin{split}
\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha,&\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha\\
\tan\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\cot\alpha,&\qquad \cot\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\tan\alpha        
    \end{split}
\end{equation}

\begin{proof}
    设$P$和$P'$是单位圆上的点，且$\angle POP'=\frac{\pi}{2}$．
    若$P$点分别在第一、二、三、四象限，那么$P'$点就依次在
    第二、三、四、一象限，如图6.17所示．
\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
    \draw[->] (-2,0)--(2,0)node[right]{$x$};
    \draw[->] (0,-2)--(0,2)node[right]{$y$};
    \draw (0,0) circle (1.5);
\draw [thick](0,0)--(30:1.5)node[right]{$P$}--(1.5*1.732/2,0)node[below]{$M$};
\draw [thick](0,0)--(30+90:1.5)node[above]{$P'$}--(0,1.5*1.732/2)node[right]{$M'$};
\node at (-.25,-.25){$O$};
\draw[->] (1,0) arc (0:30:1)node[right]{$\alpha$};
\draw[->] (.5,0) arc (0:30+90:.5);
\node at (60:.7){$\alpha+\tfrac{\pi}{2}$};
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

    从$P$点和$P'$点分别向$Ox$轴和$Oy$轴引垂线$PM$, $P'M'$．从直角三角形$OMP$和$OM'P'$全等得
\[|OM|=|OM'|,\qquad |MP|=|M'P'|\]
    
由上面等式和对于任意角$\alpha$的$P,P'$两点所在象限知道：$P$点的横坐标$x_P=OM$，恒与$P'$点的纵坐标$y_{P'}=OM'$相等，即它们的绝对值和符号都相同，也就是$x_P=y_{P'}$，因此$\cos\alpha=\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)$．

又$P$点的纵坐标$y_P=MP$是$P'$点的横坐标$x_{P'}=M'P'$的相反数，即$y_P=MP=-M'P'=-x_{P'}$，因此，$\sin\alpha=-\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)$．这样就得到：
\[\begin{split}
    \sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)&=\cos\alpha\\
    \cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)&=-\sin\alpha\\
    \tan\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)&=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}=\frac{\cos\alpha}{-\sin\alpha}=-\cot\alpha\\
    \cot\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)&=\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{\sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}=\frac{-\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\tan\alpha
\end{split}\]
\end{proof}

由公式(6.7)我们可以得到，对于任意角$\alpha$，
\[\begin{split}
\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)&=\sin\left[\frac{\pi}{2}+(-\alpha)\right]=  \cos(-\alpha)=\cos\alpha \\
\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)&=\cos\left[\frac{\pi}{2}+(-\alpha)\right]=  -\sin(-\alpha)=\sin\alpha \\
\tan\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)&=\tan\left[\frac{\pi}{2}+(-\alpha)\right]= -\cot(-\alpha)=\cot\alpha  \\
\cot\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)&=\cot\left[\frac{\pi}{2}+(-\alpha)\right]=  -\tan(-\alpha)=\tan\alpha 
\end{split}\]
于是有
\begin{equation}
\begin{split}
    \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha, &\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha \\
    \tan\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cot\alpha, &\qquad \cot\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\tan\alpha 
\end{split}    
\end{equation}

\subsection{$\pi\pm\alpha$、$\frac{3\pi}{2}\pm \alpha$与$\alpha$的三角函数间的关系}
由于
\[\begin{split}
\sin(\pi+\alpha)&=\sin \left[\frac{\pi}{2}+\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\right]=\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha\\
\cos(\pi+\alpha)&=\cos \left[\frac{\pi}{2}+\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\right]=-\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos\alpha\\
\tan(\pi+\alpha)&=\tan \left[\frac{\pi}{2}+\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\right]=-\cot\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-(-\tan\alpha)=\tan\alpha\\
\cot(\pi+\alpha)&=\cot \left[\frac{\pi}{2}+\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\right]=-\tan\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-(-\cot\alpha)=\cot\alpha\\
\end{split}\]
因此有：
\begin{equation}
    \begin{split}
        \sin\left(\pi+\alpha\right)=-\sin\alpha, &\qquad \cos\left(\pi+\alpha\right)=-\cos\alpha \\
        \tan\left(\pi+\alpha\right)=\tan\alpha, &\qquad \cot\left(\pi+\alpha\right)=\cot\alpha 
    \end{split}    
    \end{equation}

由于
\[\begin{split}
\sin(\pi-\alpha)&=\sin[\pi+(-\alpha)]= -\sin(-\alpha)=\sin\alpha\\
\cos(\pi-\alpha)&=\cos[\pi+(-\alpha)]= -\cos(-\alpha)=-\cos\alpha\\
\tan(\pi-\alpha)&=\tan[\pi+(-\alpha)]= \tan(-\alpha)=-\tan\alpha\\
\cot(\pi-\alpha)&=\cot[\pi+(-\alpha)]= \cot(-\alpha)=-\cot\alpha\\
\end{split}\]
因此有：
\begin{equation}
    \begin{split}
        \sin\left(\pi-\alpha\right)=\sin\alpha, &\qquad \cos\left(\pi-\alpha\right)=-\cos\alpha \\
        \tan\left(\pi-\alpha\right)=-\tan\alpha, &\qquad \cot\left(\pi-\alpha\right)=-\cot\alpha 
    \end{split}    
    \end{equation}

由于
\[\begin{split}
\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)&=\sin \left[\pi+\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\right]=-\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos\alpha\\
\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)&=\cos \left[\pi+\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\right]=-\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-(-\sin\alpha)=\sin\alpha\\
\tan\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)&=\tan \left[\pi+\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\right]=\tan\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\cot\alpha\\
\cot\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)&=\cot \left[\pi+\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\right]=\cot\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\tan\alpha
\end{split}\]
因此有：
\begin{equation}
    \begin{split}
        \sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos\alpha, &\qquad \cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\sin\alpha \\
        \tan\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cot\alpha, &\qquad \cot\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\tan\alpha 
    \end{split}    
    \end{equation}

由于
\[\begin{split}
\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)&=\sin\left[\frac{3\pi}{2}+(-\alpha)\right]=-\cos(-\alpha)=-\cos\alpha\\
\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)&=\cos \left[\frac{3\pi}{2}+(-\alpha)\right]=\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\\
\tan\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)&=\tan \left[\frac{3\pi}{2}+(-\alpha)\right]=-\cot(-\alpha)=\cot\alpha\\
\cot\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)&=\cot \left[\frac{3\pi}{2}+(-\alpha)\right]=-\tan(-\alpha)=\tan\alpha
\end{split}\]

因此有：
\begin{equation}
    \begin{split}
        \sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha, &\qquad \cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\sin\alpha \\
        \tan\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=\cot\alpha, &\qquad \cot\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=\tan\alpha 
    \end{split}    
    \end{equation}

\begin{example}
求$\sin(-1650^{\circ})$，$\cos\left(-\frac{19\pi}{6}\right)$的值．
\end{example}

\begin{solution}
\[\begin{split}
    \sin(-1650^{\circ})&=-\sin(1650^{\circ})=-\sin(4\x360^{\circ}+210^{\circ})\\
    &=-\sin 210^{\circ}=-\sin(180^{\circ}+30^{\circ})\\
    &=\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}
\end{split}\]
\[\begin{split}
    \cos\left(-\frac{19\pi}{6}\right)&=\cos\frac{19\pi}{6}=\cos\left(2\pi+\frac{7\pi}{6}\right)\\
    &=\cos\frac{7\pi}{6}=\cos\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)\\
    &=-\cos\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{split}\]
\end{solution}

\subsection{三角函数的诱导公式}

把上面的自变数是$-\alpha$、$\frac{\pi}{2}\pm\alpha$、$\pi\pm\alpha$、$\frac{3\pi}{2}\pm\alpha$、$2\pi\pm\alpha$
的三角函数表示为自变数就是$\alpha$的三角函数的公式，
叫做三角函数的诱导公式．为便于查阅和比较，我们把三角
函数的诱导公式全部都列于下表中．
\begin{center}
\begin{tabular}{ccccc}
    \hline
& $\cos$ & $\sin$ & $\tan $ &  $\cot$\\
\hline
$-\alpha$& $\cos\alpha$ & $-\sin\alpha$ & $-\tan\alpha $ &  $-\cot\alpha$\\
\vspace{1ex}$\frac{\pi}{2}+\alpha$& $-\sin\alpha$ & $\cos\alpha$ & $-\cot\alpha $ &  $-\tan\alpha$\\
\vspace{1ex}$\frac{\pi}{2}-\alpha$& $\sin\alpha$ & $\cos\alpha$ & $\cot\alpha $ &  $\tan \alpha$\\
$\pi+\alpha$& $-\cos\alpha$ & $-\sin\alpha$ & $\tan\alpha $ &  $\cot\alpha$\\
$\pi-\alpha$& $-\cos\alpha$ & $\sin\alpha$ & $-\tan\alpha $ &  $-\cot\alpha$\\
\vspace{1ex}$\frac{3\pi}{2}+\alpha$& $\sin\alpha$ & $-\cos\alpha$ & $-\cot\alpha $ &  $-\tan\alpha$\\
\vspace{1ex}$\frac{3\pi}{2}-\alpha$& $-\sin\alpha$ & $-\cos\alpha$ & $\cot\alpha $ &  $\tan\alpha$\\
$2\pi+\alpha$& $\cos\alpha$ & $\sin\alpha$ & $\tan\alpha $ &  $\cot\alpha$\\
$2\pi-\alpha$& $\cos\alpha$ & $-\sin\alpha$ & $-\tan\alpha $ &  $-\cot\alpha$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

比如要计算$\tan\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)$
的值，在表中找到标记$\frac{\pi}{2}+\alpha$
的第二行与标记$\tan$的第三列，它们相交之处，标记着
$-\cot\alpha$, 于是，相应的诱导公式可以写成
$\tan \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) =
-\cot\alpha$．

表中最后一列，给出对于锐角$\alpha$ （带斜条的全等直角三
角形的顶点在圆心的锐角）的三角函数诱导公式的几何解
释．

我们称正弦与余弦，正切与余切互为余函数．

从表中，可知$-\alpha$、$\frac{\pi}{2}\pm\alpha$、$\pi \pm\alpha$、
$\frac{3\pi}{2}\pm \alpha$ 和$2\pi \pm\alpha$ 都可以化成$k\frac{\pi}{2}
\pm\alpha$ $(k=0,1,2,3,4)$ 的形式，并且
这些角的三角函数和角$\alpha$ 的三角函数之间的关系，可以总结
出下面的法则．

\begin{enumerate}
    \item 符号
    
要确定结果的符号，只要假定$\alpha$为锐角（实际上，在所
有公式中的$\alpha$ 都是任意角），看角$k\cdot \frac{\pi}{2}\pm \alpha$在哪一象限，然后用原来函数在这个象限内应取的符号，作为结果的符号．

\item 函数名称
\begin{enumerate}
    \item 若$k$为偶数（包括$k=0$在内）则等式两边函数名称相同．
    \item 若$k$为奇数，则等式两边函数名称不同，可由原来
函数名称中的“正”变“余”，或“余”变“正”（就是正
弦变余弦，正切变余切；或余弦变正弦，余切变正切等等）
而得到．
\end{enumerate}
\end{enumerate}

为了便于记忆，上述法则还可以概括成下面的口诀：
\begin{center}
\verb|正负看象限，奇变偶不变． |
\end{center}

利用上面的法则，便可以迅速地写出三角函数的诱导公
式，下面举例来说明．

\begin{example}
    写出$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)$的诱导公
    式．
\end{example}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item 假定$\alpha$ 是锐角，则
$\frac{3\pi}{2}+\alpha$ 是第四象限的
角，而第四象限的角的余弦是正的，所以结果应取正号．
\item 因为$\frac{3\pi}{2}=3\cdot \frac{\pi}{2}$，3是奇数，所以，结果中函数名称应由余弦变为正弦，因此，有
\[\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\left(3\cdot \frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\sin\alpha\]
\end{enumerate}
\end{solution}

\begin{example}
    写出$\tan(\pi-\alpha)$的诱导公式．
\end{example}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item 假定$\alpha$是锐角，则
$\pi -\alpha$ 是第二象限的角，
而第二象限的角的正切是负的，所以结果应取负号．
\item 因为$\pi =2\cdot\frac{\pi}{2}$，2是偶数，所以，结果中
函数名称与原来的相同，仍为正切，因此，有
\[\tan(\pi -\alpha )=-\tan\alpha \]
\end{enumerate}
\end{solution}

利用三角函数的诱导公式，我们可以把求任意角的三角
函数值的问题化为求锐角三角函数值的问题．下面分三种情
形举例说明．

第一种情形：0到$2\pi$ (或$0^{\circ}$到$360^{\circ}$)之间的角的三角
函数．先选用适当的诱导公式化为锐角函数，然后求值．

\begin{example}
\[\sin 150^{\circ}=\sin(180^{\circ}-30^{\circ})=\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\]
或
  \[\sin 150^{\circ}=\sin(90^{\circ}+60^{\circ})=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}\]  
\end{example}

\begin{example}
\[\cos\frac{2\pi}{3}=\cos\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)=-\cos\frac{\pi}{3}=-\frac{1}{2}\]
或
\[\cos\frac{2\pi}{3}=\cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\right)=-\sin\frac{\pi}{6}=-\frac{1}{2}\]
\end{example}

\begin{example}
    $\tan\frac{4\pi}{3}=\tan\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$
\end{example}

\begin{example}
$\cot313^{\circ}25'=\cot(360^{\circ}-46^{\circ}35')=-\cot46^{\circ}35'=-0.9463$
\end{example}

第二种情形：大于$2\pi$ (或大于$360^{\circ}$) 的角的三角函数，
可利用公式(6.4), 化为上述第一种情形，然后求值．

\begin{example}
    $\sin 510^{\circ}=\sin(360^{\circ}+150^{\circ})=\sin150^{\circ}=\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$
\end{example}


\begin{example}
    $\cos\frac{8\pi}{3}=\cos\left(2\pi+\frac{2\pi}{3}\right)=\cos\frac{2\pi}{3}=\cos\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)=-\cos\frac{\pi}{3}=-\frac{1}{2}$
\end{example}

\begin{example}
\[\begin{split}
    \tan500^{\circ}=\tan(360^{\circ}+140^{\circ})&=\tan 140^{\circ}\\
    &=\tan(180^{\circ}-40^{\circ})\\ &=-\tan40^{\circ}=-0.8391
\end{split}\]
\end{example}

第三种情形：负角的三角函数，可先化为正角的三角函
数，然后再分别按上述两种情形求值．

\begin{example}
\[\begin{split}
    \sin( -680^{\circ}) &= -\sin680^{\circ} =-\sin(360^{\circ}+320^{\circ})\\
   &=-\sin320^{\circ}
   =-\sin(360^{\circ}-40^{\circ})\\
  & =-(-\sin40^{\circ})   =\sin40^{\circ}=0.6428
\end{split}\]
或$$\sin( -680^{\circ})=\sin( -680^{\circ}+2\x 360^{\circ})=\sin 40^{\circ}=0.6428$$
\end{example}

\begin{example}
    \[\begin{split}
        \cos\left(-\frac{22\pi}{5}\right)=\cos\frac{22\pi}{5}&=\cos\left(4\pi+\frac{2\pi}{5}\right)\\ &=\cos\frac{2\pi}{5}=\cos72^{\circ}=0.3090
    \end{split}\]
\end{example}    


\begin{example}
    化$\tan (\alpha-270^{\circ})$为角$\alpha$的三角函数．
\end{example}

\begin{solution}
$$\tan (\alpha-270^{\circ})=\tan [-(270^{\circ}-\alpha)]
=-\tan (270^{\circ}-\alpha)
=-\cot \alpha$$
或
$$\tan (\alpha-270^{\circ})=\tan[ (\alpha-270^{\circ})+360^{\circ}]
=\tan (90^{\circ}+\alpha)=-\cot \alpha$$
\end{solution}

\section*{习题6.1}
\addcontentsline{toc}{subsection}{习题6.1}
\begin{enumerate}
    \item 用余角的三角函数来替换下面的三角函数．
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $\sin75^{\circ}30'$
    \item $\sin(30^{\circ}-\alpha)$
    \item $\cos(2\alpha+14^{\circ})$
    \item $\cos\left(\frac{\alpha}{2}+55^{\circ}\right)$
    \item $\tan\left(66^{\circ}-\frac{\alpha}{3}\right)$
    \item $\cot(45^{\circ}+\alpha)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
    \item 查表求下列三角函数值：
\begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
        \item $\sin105^{\circ}45'$
        \item $\cos165^{\circ}24'$
        \item $\tan200^{\circ}$
        \item $\cot290^{\circ}$
    \end{enumerate}
    \end{multicols}
    \item 查表求下列三角函数值：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $\sin\frac{5\pi}{8}$
    \item $\cos\frac{9\pi}{8}$
    \item $\tan 1.4\pi$
    \item $\cot 1.8\pi$
    \item $-\tan 0.3\pi$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item 查表求下列三角函数值：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $\sin(-1640^{\circ})$
    \item $\cos(-900^{\circ})$
    \item $\tan(-700^{\circ})$
    \item $\cot\left(-13\frac{3}{4}\pi\right)$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item 查表求下列三角函数值：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $\sin2$
    \item $\cos1$
    \item $\tan(-3)$
    \item $\cot(\sin2)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item 查表求下列三角函数值：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $\sin 1160^{\circ}$
    \item $\tan (-1596^{\circ})$
    \item $\cot 864^{\circ}$
    \item $\cos(-320^{\circ})$
    \item $\tan 1190^{\circ}$
    \item $\cos(-847^{\circ}32')$
    \item $-\sin 570^{\circ}$
    \item $-\cot 390^{\circ}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item 已知$\sin(180^{\circ}+\alpha)=-\frac{1}{2}$，计算：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $\sin(270^{\circ}+\alpha)$
    \item $\cos(90^{\circ}+\alpha)$
    \item $\tan(\alpha-270^{\circ})$
    \item $\tan(\alpha-180^{\circ})$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item 计算下列各式的值：
\begin{enumerate}
    \item $2\sin^2\frac{17\pi}{4}+\tan^2\frac{33\pi}{4}\cot\frac{3\pi}{4}$
    \item $\tan10^{\circ}\cdot \tan20^{\circ}\cdot \tan30^{\circ}\cdot \tan40^{\circ}\cdot \tan50^{\circ}\cdot \tan60^{\circ}\cdot \tan70^{\circ}\cdot \tan80^{\circ}$
    \item $\sin110^{\circ}+\sin130^{\circ}+\sin150^{\circ}+\sin170^{\circ}+\sin190^{\circ}+\sin210^{\circ}+\sin230^{\circ}+\sin250^{\circ}+\sin270^{\circ}$
\end{enumerate}


\item 确定下列各式的符号：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $\sin 100^{\circ}+\cos100^{\circ}$
    \item $\frac{1}{\cos230^{\circ}}-\frac{1}{\cos220^{\circ}}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item 查表求角，若
\begin{enumerate}
    \item $\sin\alpha=-0.515,\qquad 180^{\circ}<\alpha<270^{\circ}$
    \item $\sin\alpha=0.669,\qquad 90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}$
    \item  $\tan\alpha=-1.376,\qquad 90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}$
    \item $\cos\alpha=0.407,\qquad 270^{\circ}<\alpha<360^{\circ}$
    \item $\tan\alpha=0.577,\qquad 180^{\circ}<\alpha<270^{\circ}$
    \item $\cot\alpha=-2.747,\qquad 90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{正切函数线与余切函数线}
\begin{blk}{定义}
    过单位圆与坐标系的横轴$Ox$的交点$A(1,0)$的切
线叫做正切函数线，简称正切线；而过单位圆与坐标系纵轴
$Oy$的交点$B(0,1)$的切线叫做余切函数线，简称余切线（图
6.18）．
\end{blk}

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[->](-2,0)--(2.5,0)node[right]{$x$};
\draw[->](0,-2)--(0,2.5)node[right]{$y$};
\draw (0,0) circle(1.5);
\draw[thick] (-2,1.5)--(2,1.5)node[right]{余切线};
\draw[thick] (1.5,-2)node[below]{正切线}--(1.5,2);
\node at (-.25,-.25){$O$};
\node at (2,0)[below]{$A(1,0)$};
\node at (.5,1.5)[above]{$B(0,1)$};

\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}


正切线与$Oy$轴平行，在正
切线上，规定它的正方向与$Oy$
轴的正方向一致，它上面的单
位长等于单位圆的半径．

令$P$是角$\alpha$的终边与单位
圆的交点，延长旋转半径$OP$或反向延长旋转半径$OP$与正
切线交于$L$点（当$P$点位于
$Oy$轴上时，过$O$、$P$两点的直线就不与正切线相交），如
图6.19所示．


\begin{blk}{定理}
    角$\alpha$的正切等于它的终边所在直线与正切线的交
点的纵坐标．
\end{blk}

\begin{proof}
    如果角$\alpha$的终边$OP$在$Oy$轴的右侧，射线$OP$
    与正切线交于$L$点．设$P$点坐标为$(x,y)$, $L$点坐标为$(1,y_1)$，这时
\[\tan\alpha=\frac{y}{x}=\frac{AL}{1}=y_1\]
这里$AL$是有向线段$\Vec{AL}$的数量（图6.19(a)）．

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\begin{scope}
\draw[->](-2,0)--(2.5,0)node[right]{$x$};
\draw[->](0,-2)--(0,2.5)node[right]{$y$};
\draw (0,0) circle(1.5);
\draw[thick] (1.5,-2)--(1.5,2);
\node at (-.25,-.25){$O$};
\node at (2,0)[below]{$A(1,0)$};
\draw[thick] (0,0)--(45:3);
\node at (1.5,1.5)[right]{$L(1,y)$};
\node at (45:1.5)[above]{$P(x,y)$};
\draw[->] (.5,0) arc (0:45:.5);
\node at (45/2:.7) {$\alpha$};
\node at (0,-2.75){(a)};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=6cm]
\draw[->](-2,0)--(2.5,0)node[right]{$x$};
\draw[->](0,-2)--(0,2.5)node[right]{$y$};
\draw (0,0) circle(1.5);
\draw[thick] (1.5,-2)--(1.5,2);
\node at (-.25,-.25){$O$};
\node at (2,0)[below]{$A(1,0)$};
\draw[thick] (-1.5/1.414,0)node[below]{$M$}--(90+45:1.5)node[above]{$P(x,y)$}--(0,0)--(-45:3);
\node at (1.5,-1.5)[right]{$L(1,y)$};
\draw[->] (.5,0) arc (0:45+90:.5);
\node at (135/2:.7){$\alpha$};
\node at (0,-2.75){(b)};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

如果角$\alpha$ 的终边$OP$在$Oy$轴的左侧，反向延长$OP$与
正切线交于$L$点．设$P$点、$L$点的坐标分别是$(x,y)$、$(x_1,y_1)$，
这时$P$点和$L$点的同名称坐标的符号相反，但由于
$\triangle  OPM    \sim \triangle OLA$, 所以它们的坐标的比相同（图6.19(b)），即
\[\tan\alpha =\frac{y}{x}=\frac{MP}{OM}=\frac{AL}{OA}=\frac{y_1}{1}=y_1\]

如果$P$点在$Oy$轴上则$L$点不存在，$\tan\alpha$ 不存在．

余切线与$Ox$轴平行，在余切线上，规定它的正方向与
$Ox$轴的正方向一致，它上面的单位长等于单位圆的半径．
\end{proof}

我们可以用同样的方法证明下面的定理．

\begin{blk}{定理}
    角
$\alpha$的余切等于角$\alpha$终边所在直线与余切线交
点的横坐标（图6.20）．
\end{blk}

\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
    \draw[->](-2,0)--(2.5,0)node[right]{$x$};
    \draw[->](0,-2)--(0,2.5)node[right]{$y$};
    \draw (0,0) circle(1.5);
    \draw  (-2,1.5)--(2.5,1.5);
    \draw[very thick](0,0)--(1.5,1.5);
    \draw[->](.5,0) arc (0:45:.5);
    \node at (22.5:.7){$\alpha$};
\node at (-.25,-.25){$O$};
\node at (0,1.7)[left]{$B(0,1)$};
\node at (1.5,1.5)[above]{$L_1(x_1,1)$};
\node at (45:1.5)[right]{$P(x,y)$};
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1]
        \draw[<->] (-0.75,0)--node[fill=white]{$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$}(-.75,.75*1.732);
    \draw[->](-2,0)--(2.5,0)node[right]{$x$};
    \draw[->](0,-2)--(0,2.5)node[right]{$y$};
    \draw (0,0) circle(1.5);   
    \node at (-.25,-.25){$O$};
    \draw[very thick](0,0)--(1.5/2,1.5/2*1.732)node[right]{$P_1$}--(-1.5/2,1.5/2*1.732)node[left]{$P_2$}--(0,0);
    \draw[->](.5,0) arc (0:60:.5);
    \node at (30:.7){$\frac{\pi}{3}$};
    \node at (2,0)[below]{$A(1,0)$};

    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}

    （证明留给读者去完成）

\begin{example}
    求适合下列各式的角$\alpha$的值（用弧度表示）．
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$
    \item $\sin2\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
    \item $\cos\frac{\alpha}{2}=-\frac{1}{2}$
    \item $3\tan\alpha+\sqrt{3}=0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{example}


\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item 在单位圆上，纵坐标等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$
    的点，分别是在第一象
    限的点$P_1$和第二象限的点$P_2$（如图6.21）．

$\because\quad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故通过$P_1$点的一切角
\[\alpha_1=\frac{\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}\]
通过$P_2$点的一切角
\[\alpha_2=\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)+2k\pi=\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}\]

\textbf{另解：}
$\because\quad \sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}>0$

$\therefore\quad \alpha$角终边在第一或第二象
限．但知$\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
根据诱导公式得到
\[\sin\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi\right)=\sin\left[\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)+2k\pi\right]=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\]
所以$\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$的解集是
\[\left\{\alpha\Big|\alpha=\frac{\pi}{3}+2k\pi,\; k\in\mathbb{Z}\right\}\bigcup \left\{\alpha\Big|\alpha=\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\; k\in\mathbb{Z}\right\}\]

\item 在单位圆上，纵坐标等于$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
的点，分别是在第三
象限的点$P_1$和第四象限的点$P_2$ (如图6.22)

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1.3]
    \draw[->](-2,0)--(2.5,0)node[right]{$x$};
    \draw[->](0,-2)--(0,2)node[right]{$y$};
    \draw (0,0) circle(1.5);
\draw (0,0)--(.75,-.75*1.732)node[below]{$P_2$}--(-.75,-.75*1.732)node[below]{$P_1$}--(0,0);
\draw[dashed] (0,0)--(60:1.5)node[right]{$P'\left(\cos\frac{\pi}{3},\sin\frac{\pi}{3}\right)$}--(0,.75*1.732);
\node at (2,0)[above]{$A(1,0)$};
\draw[->](.5,0) arc (0:60:.5);
\node at (30:.7){$\frac{\pi}{3}$};
\draw[|<->] (-.1,.75*1.732)--node[left]{$\frac{\sqrt{3}}{2}$}(-.1,0);
\draw[<->] (-.5,-.75*1.732)--node[left]{$\frac{\sqrt{3}}{2}$}(-.5,0);
\node at (.25,-.2){$O$};
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}


$\because\quad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故通过$P_1$点的一切$2\alpha_1$角：
\[2\alpha_1=\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)+2k\pi=\frac{4\pi}{3}+2k\pi\]
由此得 $\alpha_1=\frac{2\pi}{3}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}$．

通过$P_2$点的一切$2\alpha_2$角：
\[2\alpha_2=\left(2\pi-\frac{\pi}{3}\right)+2k\pi=\frac{5\pi}{3}+2k\pi\]
由此得$\alpha_2=\frac{5\pi}{6}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}$

所以$\sin2\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}$的解集是
\[\left\{\alpha\Big|\alpha=\frac{2\pi}{3}+k\pi,\; k\in\mathbb{Z}\right\}\bigcup \left\{\alpha\Big|\alpha=\frac{5\pi}{6}+k\pi,\; k\in\mathbb{Z}\right\}\]

\textbf{另解：}
$\because\quad \sin2\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}<0$

$\therefore\quad$角$ 2\alpha$终边在第三或第四象
限．

$\because\quad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
根据诱导公式
\[\sin\left[\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)+2k\pi\right]=\sin\left[\left(2\pi-\frac{\pi}{3}\right)+2k\pi\right]=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\]
得知
\[2\alpha=\frac{4\pi}{3}+2k\pi\qquad \text{或}\qquad 2\alpha=\frac{5\pi}{3}+2k\pi\quad (k\in\mathbb{Z})\]
$\therefore\quad \alpha=\frac{2\pi}{3}+k\pi\qquad \text{或}\qquad \alpha=\frac{5\pi}{6}+k\pi\quad (k\in\mathbb{Z})$

\item 在单位圆上，横坐标等于=$-\frac{1}{2}$
的点分别是在第二象限
的$P_1$点和第三象限的$P_2$点（如图6.23）．

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1.3]
    \draw[->](-2,0)--(2.5,0)node[right]{$x$};
    \draw[->](0,-2)--(0,2)node[right]{$y$};
    \draw (0,0) circle(1.5);
\draw (-.75, .75*1.732)node[left]{$P_1$}--(-.75, -.75*1.732)node[left]{$P_2$};
\draw (0,0)-- (120:1.5);
\draw (0,0)-- (-120:1.5);
\draw[dashed] (0,0)-- (60:1.5)node[right]{$P_2'\left(\cos\frac{\pi}{3},\sin\frac{\pi}{3}\right)$}--(.75,0);
\node at (2,0)[below]{$A(1,0)$};
\node at (.25,-.25){$O$};
\draw[<->](0,.3)--node[above]{$\frac{1}{2}$}(.75,.3);
\draw[<->](0,.2)--node[above]{$\frac{1}{2}$}(-.75,.2);
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}


$\because\quad \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$，故
通过$P_1$点的一切$\frac{\alpha_1}{2}$角：
\[\frac{\alpha_1}{2}=\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)+2k\pi=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\]
由此得：$\alpha_1=\frac{4\pi}{3}+4k\pi\quad (k\in\mathbb{Z})$．

通过$P_2$点的一切$\frac{\alpha_2}{2}$角：
\[\frac{\alpha_2}{2}=\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)+2k\pi=\frac{4\pi}{3}+2k\pi\]
由此得：$\alpha_1=\frac{8\pi}{3}+4k\pi\quad (k\in\mathbb{Z})$．

所以解集是：
\[\left\{\alpha\Big|\alpha=\frac{4\pi}{3}+4k\pi,\; k\in\mathbb{Z}\right\}\bigcup \left\{\alpha\Big|\alpha=\frac{8\pi}{3}+4k\pi,\; k\in\mathbb{Z}\right\}\]

\textbf{另解：}$\because\quad \cos\frac{\alpha}{2}=-\frac{1}{2}<0$，

$\therefore\quad $角$\frac{\alpha}{2}$的终边在
第二象限或第三象限．

$\because\quad \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$，根据诱导公式
\[\cos\left[\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)+2k\pi\right]=\cos\left[\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)+2k\pi\right]=-\cos\frac{\pi}{3}=-\frac{1}{2}\]
得知：$\frac{\alpha}{2}=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\quad \text{或}\quad \frac{\alpha}{2}=\frac{4\pi}{3}+2k\pi$

\[\therefore\quad \alpha=\frac{4\pi}{3}+4k\pi\qquad \text{或}\qquad  \alpha =\frac{8\pi}{3}+4k\pi\quad  (k\in\mathbb{Z})\]

\item $3\tan\alpha+\sqrt{3}=0\quad \Rightarrow\quad \tan\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

在正切线上纵坐标等于$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
的点$L$对应着单位圆上第二象限的$P_1$点和第四象限的$P_2$点（如图6.24）．
\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex, scale=1.3]
    \draw[->](-2,0)--(2.5,0)node[right]{$x$};
    \draw[->](0,-2)--(0,2)node[right]{$y$};
    \draw (0,0) circle(1.5);
    \draw[very thick] (150:1.5)node[left]{$P_1$}--(-30:1.5)node[left]{$P_2$}--(1.5,-1.732/2);

\draw [<->|](1.6, 0)--node[right]{$\tfrac{\sqrt{3}}{3}$}(1.6,-1.732/2);
\draw [<->|](1.6, 0)--node[right]{$\tfrac{\sqrt{3}}{3}$}(1.6,1.732/2);



\node at (1.5,-1.732/2-.3)[right]{$L\left(1,-\tfrac{\sqrt{3}}{3}\right)$};

    \node at (-.25,-.25){$O$};
    \draw[dashed] (0,0)--(30:1.5)--(1.5,1.732/2);
\draw (1.5,-2)--(1.5,2);
\draw [->](.5,0) arc (0:30:.5);
\node at (15:.8){$\tfrac{\pi}{6}$};
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

因为$\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以通过$P_2$点和$P_1$点的一切角$\alpha=-\frac{\pi}{6}+k\pi,\; (k\in\mathbb{Z})$

所以解集是：$\left\{\alpha\Big|\alpha=\frac{\pi}{6}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}\right\}$

\textbf{另解：} $\because\quad \tan\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3}<0$

$\therefore\quad $角$\alpha$终边在第二象限或第四象限．

$\because\quad \tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，根据诱导公式
\[\tan\left[\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)+2k\pi\right]=\tan\left[\left(2\pi-\frac{\pi}{6}\right)+2k\pi\right]=-\tan\frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\]
得知：
\[\alpha=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\qquad \text{或}\qquad \alpha=\frac{5\pi}{6}+(2k+1)\pi\quad (k\in\mathbb{Z})\]
\end{enumerate}
\end{solution}

\begin{ex}
    查表求适合下面等式的所有角，并图示所求角的终边．
    \begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $\sin\alpha =-\frac{1}{3}$
    \item $\cos\alpha =\frac{2}{5}$
    \item $\tan\alpha =-\frac{2}{3}$
    \item $\cot\alpha=-2$
\end{enumerate} 
    \end{multicols}
\end{ex}

\section{三角函数的基本关系}
\subsection{相同角的三角函数的关系}
根据任意角三角函数的定义，我们得到

\begin{blk}{倒数关系}
\begin{enumerate}
    \item $\sin\alpha\cdot \csc\alpha=1,\quad \alpha\ne k\pi\qquad (k\in\mathbb{Z})$
    \item $\cos\alpha\cdot \sec\alpha=1,\quad \alpha\ne \frac{\pi}{2}+k\pi\qquad (k\in\mathbb{Z})$
    \item $\tan\alpha\cdot \cot \alpha=1,\quad \alpha\ne k\cdot \frac{\pi}{2}\qquad (k\in\mathbb{Z})$
\end{enumerate}
\end{blk}

\begin{proof}
    根据任意角三角函数定义得
\[\begin{split}
    \sin\alpha\cdot \csc\alpha&=\frac{y}{r}\cdot\frac{r}{y}=1,\quad \alpha\ne k\pi\qquad (k\in\mathbb{Z})\\
    \cos\alpha\cdot \sec\alpha&=\frac{x}{r}\cdot \frac{r}{x}=1,\quad \alpha\ne \frac{\pi}{2}+k\pi\qquad (k\in\mathbb{Z})\\
    \tan\alpha\cdot \cot \alpha&=\frac{y}{x}\cdot \frac{x}{y}=1,\quad \alpha\ne k\cdot \frac{\pi}{2}\qquad (k\in\mathbb{Z})
\end{split}\]
\end{proof}

\begin{blk}{商数关系}
\begin{enumerate}
    \item $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\quad \alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi\qquad (k\in\mathbb{Z})$
    \item $\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha},\quad \alpha\ne k\pi\qquad (k\in\mathbb{Z})$
\end{enumerate}
\end{blk}

\begin{proof}
\[\begin{split}
    \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}&=\frac{\frac{y}{r}}{\frac{x}{r}}=\frac{x}{y}=\tan\alpha,\quad \alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi\qquad (k\in\mathbb{Z})\\
    \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}&=\frac{\frac{x}{r}}{\frac{y}{r}}=\frac{y}{x}=\cot\alpha,\quad \alpha\ne k\pi\qquad (k\in\mathbb{Z})\\
\end{split}\]    
\end{proof}


\begin{blk}{平方关系}
\begin{enumerate}
    \item $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$
    \item $1+\tan^2\alpha=\sec^2\alpha,\quad \alpha\ne \frac{\pi}{2}+k\pi\qquad  (k\in\mathbb{Z})$
    \item $1+\cot^2\alpha=\csc^2\alpha,\quad \alpha\ne k\pi \qquad (k\in\mathbb{Z})$
\end{enumerate}
\end{blk}

\begin{proof}
    根据任意角三角函数定义，得
\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\left(\frac{y}{r}\right)^2+\left(\frac{x}{r}\right)^2=\frac{x^2+y^2}{r^2}\]
因为$y^2+x^2=r^2$，所以$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$．

把$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$的两边同除以$\cos\alpha,\; \alpha\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\quad (k\in\mathbb{Z})$, 便得到
\[\tan^2\alpha+1=\sec^2\alpha\]
或
\[1+\tan^2\alpha=sec^2\alpha\]
把$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$的两边同除以$\sin^2\alpha$,$\alpha\ne k\pi\quad (k\in\mathbb{Z})$，便
得到
\[1+\cot^2\alpha =\csc^2\alpha\]
\end{proof}


上面八个公式，除去使公式中的函数不存在的那些a的
值以外，对于$\alpha$其它的值都成立，因此，把它们叫做三角
函数的基本恒等式．

利用这些恒等式，可以进行同角的三角函数式的恒等变
换，使较繁的式子化为简单的形式；或利用它们，根据给出
的一个角的某一个三角函数值，推导出该角的其余三角函数
值．




\begin{example}
    化简 $\sin ^{3} \alpha(1+\cot \alpha)+\cos ^{3} \alpha(1+\tan \alpha)$
\end{example}

\begin{solution}
\[\begin{split}
\text{原式}
    &=\sin ^{3} \alpha\left(1+\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)+\cos ^{3} \alpha\left(1+\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right) \\
    &=\sin ^{3} \alpha \frac{\sin \alpha+\cos \alpha}{\sin \alpha}+\cos ^{3} \alpha \frac{\cos \alpha+\sin \alpha}{\cos \alpha} \\
    &=\sin ^{2} \alpha(\sin \alpha+\cos \alpha)+\cos ^{2} \alpha(\cos \alpha+\sin \alpha) \\
    &=(\sin \alpha+\cos \alpha)\left(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha\right) \\
    &=\sin \alpha+\cos \alpha
\end{split}\]
\end{solution}

\begin{example}
    当 $\alpha=24^{\circ} 30^{\prime}$ 时, 计算
$
\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha-\cos \alpha}{1+\sin ^{2} \alpha-\cos ^{2} \alpha-\sin \alpha}
$的值．
\end{example}

\begin{solution}
    如果直接把$\alpha$的值代入，查表计算将很烦琐，因
此最好先把式子进行化简．
\[\begin{split}
\text{原式}&=\frac{\cos\alpha(2\sin\alpha-1)}{1+\sin^2\alpha-(1-\sin^2\alpha)-\sin\alpha}\\
&=\frac{\cos\alpha(2\sin\alpha-1)}{2\sin^2\alpha-\sin\alpha}\\
&=\frac{\cos\alpha(2\sin\alpha-1)}{\sin\alpha(2\sin\alpha-1)}\\
&=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\cot\alpha
\end{split}\]
最后把$\alpha$值代入，查表可得：
\[\cot24^{\circ}30'=2.194\]
\end{solution}


\begin{example}
    化简$\sqrt{1-\sin^2\alpha}\cdot \tan\alpha$
\end{example}

\begin{solution}
\[\begin{split}
    \text{原式}&=\sqrt{\cos^2\alpha}\cdot \tan\alpha\\
    &=|\cos\alpha|\cdot \tan\alpha\\
    &=\begin{cases}
   \cos\alpha\cdot \tan\alpha=\sin\alpha, & -\frac{\pi}{2}+2k\pi<\alpha<\frac{\pi}{2}+2k\pi\\
   -\cos\alpha\cdot \tan\alpha=-\sin\alpha, & \frac{\pi}{2}+2k\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}+2k\pi
    \end{cases}
\end{split}\]
\end{solution}

\begin{ex}    
    证明恒等式：
\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item $(\tan^2\alpha-\sin^2\alpha)\cot^2\alpha=\sin^2\alpha$
        \item $\frac{1}{1-\cos\alpha}\cdot\frac{1}{\csc\alpha+1}+\frac{1}{1+\cos\alpha}\cdot \frac{1}{\csc\alpha-1}=\sec^2\alpha$
    \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
    \item $\frac{\tan\alpha-\sin\alpha}{\tan \alpha}=1-\cos\alpha$
    \item $\frac{\tan\alpha+\cot\alpha-2}{\tan\alpha+\cot\alpha+2}=\left(\frac{\tan \alpha-1}{\tan\alpha+1}\right)$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
    \item $\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{\cot\alpha+\cot\beta}=\tan\alpha\tan\beta$
    \item $\frac{\cos\alpha+\cot\alpha}{\cot\alpha}-1=\tan\alpha\cot \cos\alpha$
\end{enumerate}

\item\begin{enumerate}
    \item  $\frac{1+\tan^4\alpha}{\tan^2\alpha+\cot^2\alpha}=\tan^2\alpha$
    \item $\frac{1}{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}=\frac{1+\cot^2\alpha}{1-\cot^2\alpha}$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item $\frac{(\cos\alpha+\sin\alpha)^2-1}{\cot\alpha-\sin\alpha\cos\alpha}=2\tan^2 \alpha$
    \item $\sqrt{2\tan\alpha+\sec^2\alpha}=1+\tan\alpha$,  （$\alpha$是正锐角）   
\end{enumerate}
\end{enumerate}
       
   化简下列各式：
\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item $\sqrt{1-\cos^2\alpha}\cdot \cot \alpha$
        \item $\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}$
        \item $\sqrt{\sin^2\alpha(1+\cot\alpha)+\cos^2\alpha(1+\tan\alpha)}$
    \end{enumerate}
\item 已知$\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}$，求：
\[\sin\alpha\cos\alpha,\qquad \sin^3\alpha+\cos^3\alpha,\qquad \sin^4\alpha+\cos^4\alpha\]
\item 把$\sin^4\alpha-\sin^2\alpha+\cos^2\alpha$化为只含$\cos\alpha$的式子．
\end{enumerate}
\end{ex}

\subsection{根据一个三角函数计算其余各三角函数}
根据前面中所推导出的三角函数间的基本公式，可以
从一个已知的三角函数值，计算其余的三角函数值．

\begin{example}
已知$\cos\alpha=\frac{12}{13}$，求$\alpha$角的其余的三角函数．
\end{example}

\begin{solution}
因为$cos\alpha=\frac{12}{13}>$，所以$\alpha$角的终边在第一象限或在第四象限．

从公式$\sec\alpha=\frac{1}{\cos\alpha}$，有$\sec\alpha=\frac{1}{\frac{12}{13}}=\frac{13}{12}$．

其次，从公式$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$得
\[\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}=\pm\frac{5}{13}\]
因为$\csc\alpha=\frac{1}{\sin\alpha}$，所以
\[\csc\alpha=\frac{1}{\pm\frac{5}{13}}=\pm\frac{13}{5}\]
从公式$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
求得
\[\tan\alpha=\frac{\pm\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}=\pm\frac{5}{12}\]
最后
\[\cot\alpha=\frac{1}{\tan\alpha}=\pm\frac{12}{5}\]
\end{solution}


\begin{example}
    已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，求$\alpha$角的其余各三角函数值．
\end{example}
    
\begin{solution}
    因为$\sin\alpha=\frac{3}{5}>0$，所以$\alpha$角是第一象限角或第二象限角．
\[\begin{split}
    \csc\alpha&=\frac{1}{\sin\alpha}=\frac{5}{3}\\
    \cos\alpha&=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\pm\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\pm\frac{4}{5}\\
    \sec\alpha&=\frac{1}{\cos\alpha}=\pm\frac{5}{4}\\
    \tan\alpha&=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{5}}{\pm\frac{4}{5}}=\pm\frac{3}{4}\\
    \cot\alpha&=\frac{1}{\tan\alpha}=\pm\frac{4}{3}
\end{split}\]
\end{solution}

\begin{example}
已知$\tan\phi=\frac{7}{8}$, $\pi<\phi<\frac{3\pi}{2}$，求$\phi$角的其余三角函数值，准确到0.01．
\end{example}

\begin{solution}
$\cot\phi=\frac{1}{\tan\phi}=\frac{8}{7}\approx 1.14$

$\because\quad \phi$是第三象限角，$\therefore\quad \sec\phi<0$

因此：
\[\begin{split}
    \sec\phi&=-\sqrt{1+\left(\frac{7}{8}\right)^2}\approx -1.33\\
    \cos\phi&=-\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{7}{8}\right)^2}}\approx-\frac{1}{1.33}\approx -0.75\\
    \sin\phi&=\tan\phi\cdot \cos\phi\approx \frac{7}{8}(-0.753)\approx -0.66\\
    \csc\phi&=-\frac{1}{0.658}\approx -1.52
\end{split}\]
\end{solution}



\begin{example}
    已知$\cot\alpha=m$，$-\frac{\pi}{2}<\alpha<0$，求$\alpha$角的其余各
三角函数值．
\end{example}

\begin{solution}
因为$-\frac{\pi}{2}<\alpha<0$，所以$\cot\alpha=m\ne 0$，$\csc\alpha<0$，于是
\[\begin{split}
    \tan\alpha&=\frac{1}{m}\\
\csc\alpha&=-\sqrt{1+\cot^2\alpha}=-\sqrt{1+m^2}\\
\sin\alpha&=-\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}\\
\cos\alpha&=\cot\alpha\cdot \sin\alpha=m\left(-\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}\right)=-\frac{m}{\sqrt{1+m^2}}\\
\sec\alpha&=\frac{1}{\cos\alpha}=-\frac{\sqrt{1+m^2}}{m}
\end{split}\]
\end{solution}

\begin{example}
    已知$\tan\alpha=-3$，求：
    \begin{enumerate}
        \item $\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\cos\alpha+\sin\alpha}$的值；
        \item $\frac{1}{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}$的值．
    \end{enumerate}
\end{example}

\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item 因为$\tan\alpha=-3$，所以$\alpha\ne \frac{\pi}{2}+k\pi$，即$\cos\alpha\ne 0$．分子、分母分别除以$\cos\alpha\ne 0$，则
\[\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\cos\alpha+\sin\alpha}=\frac{\tan\alpha-1}{1+\tan\alpha}=\frac{-3-1}{1+(-3)}=2\]    

\item $\frac{1}{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}$

分子、分母分别除以$\cos^2\alpha\ne 0$，则
\[\frac{1}{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}=\frac{\tan^2\alpha+1}{\tan^2\alpha-1}=\frac{(-3)^2+1}{(-3)^2-1}=\frac{5}{4}\]
\end{enumerate}  
\end{solution}



\begin{rmk}
\begin{enumerate}
    \item 在包含有函数$\tan\alpha$或$\sec\alpha$的一切公式里，要除去$\alpha=\frac{\pi}{2}+2k\pi$的诸值，其中$k\in\mathbb{Z}$；在包含有$\cot\alpha$或$\csc\alpha$
    的一切公式里，要除去$\alpha=k\pi$, 其中$k\in\mathbb{Z}$．
    \item 在包含有根号的那些公式里，一般的情形在根
    号之前应置双号“$\pm$”，若已给出$\alpha$角终边所在象限，则可
    选择确定的符号，根号前面符号的选择，依赖于$\alpha$角终边所
    在的象限所求三角函数的符号．
    \item 含有$\sin\alpha$和
    $\cos\alpha$的有理式，当分子和分母都
    是关于$\sin\alpha$和
    $\cos\alpha$
    的同次的齐次多项式时，可以化为只含
    有$\tan\alpha$的有理式．
\end{enumerate} 
\end{rmk}


\section*{习题6.2}
\addcontentsline{toc}{subsection}{习题6.2}
\begin{enumerate}
    \item 已知$\sin\alpha=-\frac{24}{25}$，计算$\cos\alpha, \tan\alpha, \cot\alpha$．
    \item 已知$\cos\alpha=-\frac{9}{41}$，$90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}$，计算$\sin\alpha, \tan\alpha, \cot\alpha,\sec\alpha, \csc\alpha$．
\item 已知$\cot\alpha=3\frac{41}{60}$, $\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$，计算$\cos\alpha$．
\item 已知$\tan=1.4$, $\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$，计算$\alpha$角的其它三角函数值（准确到0.01）．
\item 已知$\cot\alpha=-\frac{52}{173}$和$0^{\circ}<\alpha<180^{\circ}$，计算$\tan\alpha-\sec\alpha$的值．
\item 已知$\tan\alpha=-1.5$， $100^{\circ}<\alpha<200^{\circ}$，计算$\cos\alpha$．
\item 已知$\sin\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$，计算$\tan\alpha-\cot\alpha$的值．
\item 已知$\cot\alpha=3$, $\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$，求积$\sin\alpha\cos\alpha$．
\item \begin{enumerate}
    \item 设$\tan\alpha=2$，计算$\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}$；
    \item 设$\cot\alpha=-2$，计算$\frac{1}{\sin^2\alpha-\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha}$．
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
    \item 若$0<\alpha<\pi$，化简$\sqrt{\frac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}}-\sqrt{\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha}}$；
    \item 若$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$，化简
    $\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}+\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}$．
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{复习题六}
\addcontentsline{toc}{section}{复习题六}

\begin{enumerate}

    
    \item    $\cos1^{\circ}$和$\cos1$
    哪个大？又$\tan1^{\circ}$和$\tan 1$哪个大？
    \item 圆的半径等于240mm, 求这个圆上长
    500mm的弧所对圆心角的度数．
    \item 直径是20cm的滑轮，每秒旋转45弧度，求轮周上
    一点在5秒钟内所转过的弧长．
    \item 已知一扇形的弧含有$45^{\circ}$,半径等于20cm,求扇形
    的周长和面积（精确到1cm）．
    \item 在$0^{\circ}$到$360^{\circ}$的范围内，找出与下列各角终边相同
    的角，并判定它们是哪个象限的角：
\[-54^{\circ}18',\qquad 395^{\circ}8',\qquad -1190^{\circ}30',\qquad 1563^{\circ}\]

\item 试说明$k\cdot 360^{\circ}+130^{\circ}$与$k\cdot 360^{\circ}-230^{\circ}$, ($k\in\mathbb{Z}$)为同
边角．
\item 若一四边形内角的比为$5:9:10:12$, 求各角的度数
及弧度数．
\item 已知角$\alpha$的终边上一点$P(-2,2)$, 求角$\alpha$的各三
角函数值，如果已知终边上一点$Q(-1,1)$时，$\alpha$的各三角
函数值有变化吗？
\item 设$A$为三角形的一个内角，下列函数中哪些可以是
负值，哪些只能是正值．
\[\sin A,\qquad \cos A,\qquad \tan A,\qquad \cot\frac{A}{2}\]
\item 确定下列各函数的符号：
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
    \item $\sin1000^{\circ}$
    \item $\cos(-2200^{\circ})$
    \item $\tan\left(-\frac{3}{11}\pi\right)$
    \item $\cot 10$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item 求下列各函数的定义域：
\begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
        \item $y=\sqrt{-\frac{\sin x}{\cos x}}$
        \item $y=\sqrt{-\sin x}+\sqrt{\cos x}$
        \item $y=\sqrt{\tan x\cdot \cos x}$
    \end{enumerate}
    \end{multicols}

\item 求下列各式的值：
\begin{enumerate}
    \item $\csc180^{\circ}+\sin60^{\circ}+\tan45^{\circ}-\cos230^{\circ}+\sin30^{\circ}
+\cot90^{\circ}$
    \item $4\sin\pi-2\cos\frac{3\pi}{2}+3\sin2\pi -\tan\pi$
\end{enumerate}

\item 下面函数哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些都不
是？
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $y=\tan 2 x$
\item $y=|\tan x|$
\item $y=\sin (\tan  x)$ 
\item  $y=\cos (\tan x)$
\item $y=x \tan x$
\item $f(x)=\frac{\tan x+1}{\tan x-1}$
\item $g(x)=\tan x \cdot \sin x $
\item $ h(\alpha)=\sin \alpha \cdot \cot  \alpha$
\item  $F(y)=\tan y \cdot \cot^{2} y$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item  求下列各式的值：
\begin{enumerate}
\item $5 \sin 90^{\circ}+2 \cos 0^{\circ}-2 \sin 270^{\circ}+10 \cos 180^{\circ}$
\item $\cos \frac{\pi}{8}-\sin ^{2} \frac{\pi}{4}\cos \pi -\frac{1}{8} \tan^{2} \frac{\pi}{3} \sin \frac{3 \pi}{2}+\cos 0$
\item $8 \sin 510^{\circ} \cdot \cos \left(-300^{\circ}\right) \cdot \tan 240^{\circ}$
\item $10 \cot  315^{\circ} \cdot \sin \left(-150^{\circ}\right) \cdot \cos 225^{\circ}$,
\item $\frac{\cos \left(-120^{\circ}\right)}{\cos 30^{\circ}}+\frac{\tan 210^{\circ} \sin 315^{\circ}}{\cos 180^{\circ}}$
\item $\sin \left(450^{\circ}-\alpha\right)-\sin \left(180^{\circ}-\alpha\right) +\cos \left(450^{\circ}-\alpha\right)+\cos \left(\alpha-180^{\circ}\right)$
\item $[\tan^2(\pi+\alpha)-\cot^2(\pi-\alpha)]\sin(2\pi-\alpha)\cdot \cos(\alpha-2\pi)$
\item $\sqrt{\sin^2 30^{\circ}+\sin^2 35^{\circ}-2\sin 30^{\circ}+\cos^2 35^{\circ}}$
\end{enumerate}

\item 证明对于任何角$\alpha$，下面各等式都成立：
\begin{enumerate}
    \item $\frac{\sin(2\pi-\alpha)\tan\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\cot\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)}{\cos(2\pi+\alpha)\tan(\pi+\alpha)}=1$
    \item $\frac{\sin^2(\pi+\alpha)}{\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)}+\frac{\tan^2\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)}{\cot^2(\pi+\alpha)}=\frac{1}{\cos^2(\alpha-2\pi)}$
\end{enumerate}

\item 已知三角函数值求角：
\begin{enumerate}
    \item $\sin x=\frac{1}{2},\qquad \left(0<x<\frac{\pi}{2}\right)$
    \item $\cos x=-\frac{1}{2},\qquad \left(\frac{\pi}{2}<x<{\pi}\right)$
    \item $\tan x=-1,\qquad \left(\frac{\pi}{2}<x<\pi\right)$
    \item $\cot x+\sqrt{3}=0,\qquad \left(\frac{3\pi}{2}<x<2\pi\right)$
    \item $2\sin x-\sqrt{2}=0,\qquad (0<x<2\pi)$
    \item $3\tan x+\sqrt{3}=0,\qquad (0<x<2\pi)$
    \item $2\cos x-\sqrt{3}=0,\qquad (0<x<2\pi)$
    \item $\sqrt{3}\cot x-1=0,\qquad (0<x<2\pi)$
\end{enumerate}

\item 证明下列各恒等式：
\begin{enumerate}
    \item $\sin ^{4} \alpha+\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha=1$
    \item $\sin ^{6} \alpha+\cos ^{6} \alpha=1-3 \sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha$
    \item $(\csc \alpha-\sin \alpha)(\sec \alpha-\cos \alpha)(\tan \alpha+\cot  \alpha)=1$
    \item $(1-\cot  \alpha+\csc \alpha)(1-\tan \alpha+\sec \alpha)=2$
    \item $\frac{\cos \alpha \csc \alpha-\sin \alpha \sec \alpha}{\cos \alpha+\sin \alpha}=\csc \alpha-\sec \alpha$
    \item $\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta-\sin ^{2} \alpha \sin ^{2} \beta+\cos ^{2} \alpha \cos ^{2} \beta=1$
    \item $\frac{\sin (\pi-\alpha) \sin \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right) \tan\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) \tan\left(\frac{3 \pi}{2}+\alpha\right) \tan(2 \pi-\alpha)} 
=-\cos \alpha$

\item $\frac{\sin ^{2}(\pi+\alpha)}{\sin ^{2}\left(\frac{3 \pi}{2}+\alpha\right)}+\frac{\tan^{2}\left(\frac{3 \pi}{2}+\alpha\right)}{\cot^{2}(\pi+\alpha)} =\sec ^{2}(\alpha-2 \pi)$
\item $(a \sin \alpha+b \cos \alpha)^{2}+(a \cos \alpha-b \sin \alpha)^{2}=a^{2}+b^{2}$
\item $\tan \alpha\left(1-\cot^{2} \alpha\right)+\cot \alpha\left(1-\tan^{2} \alpha\right)=0$
\item $\frac{(1-\sin \alpha-\cos \alpha)(1-\sin \alpha+\cos \alpha)}{\sin ^{2} \alpha-\sin \alpha}=2$
\item $\frac{1-2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha}=\frac{\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha}{1+2 \sin \alpha \cos \alpha}$
\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
    \item 已知 $\sin \theta=\frac{15}{17}, 90^{\circ}<\theta<180^{\circ}$,
求 $\cos \theta, \tan \theta$ 和 $\cot \theta$．

\item 已知 $\cot \theta=-\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\theta$ 在第 四象限, 求 $\sin \theta$ 和 $\cos \theta$．
\end{enumerate} 

\item $x$取$0^{\circ}$到$720^{\circ}$之间的哪些值时，下面等式成立：
\[\sqrt{1-\sin^2\frac{x}{2}}=\cos\frac{x}{2}\]

\item 已知$\sin\alpha\cos\alpha=\frac{60}{169}$，并且$\frac{\pi}{4}<\alpha<\frac{\pi}{2}$，求$\sin\alpha$和$\cos\alpha$的值．

\item 已知$\sin(180^{\circ}+\alpha)=-\frac{1}{3}$，且$0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}$，计算$\cot(\alpha-180^{\circ})$的值．
\item 已知$\tan x=-2$，求$\cot(3\pi-x)$, $\cos(x-4\pi)$的值．
\item 已知$\tan A=\frac{2mn}{m^2-n^2}\; (0^{\circ}<A<180^{\circ})$，求$\sin A$．
\end{enumerate}